Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
441 имеем, что хп Є Ь(є), откуда при тех же п имеем \f(xn,y) - д(у)\ < є, а это значит, что f(xn,y) д{у) при п —> оо.
Утверждение 2 и теорема 1 полностью доказаны.
В заключение подчеркнем, что в теореме 1 на базу В мы накладываем следующие ограничения:
1) каждое окончание 6 базы В непусто, но пересечение всех окончаний пусто;
2) для любых двух окончаний fei и fe2 имеем либо включение fei С fe2l либо включение fei D fe2;
3) существует хотя бы одна монотонная по базе В последовательность.
На первый взгляд может показаться, что эти ограничения весьма обременительны, особенно условие 2, которое ужесточает обычное условие, указывающее на существование 63 С fei Plfe2. Но это не совсем так, поскольку вместо базы В практически всегда можно рассматривать базу Во, эквивалентную В в том смысле, что существование предела по базе В влечет за собой сходимость по Bq, и наоборот. При этом все три сформулированных выше условия для базы Во уже будут выполнены. К примеру, в случае прямого произведения баз H = BxD, где В и D есть базы х —> -foo и у +оо, в качестве соответствующего Но можно взять базу, составленную из окончаний вида h = {(х, у)|х > а, у > а}.
Для полноты изложения приведем еще обобщение критерия Коши равномерной сходимости функций по базе множеств.
Теорема2 (критерий Коши для равномерной сходимости функции). Для того чтобы функция f(x,y), определенная на множестве XxY, сходилась к некоторой функции д(у) по базе В, заданной на множестве X, равномерно на множестве Y, необходимо и достаточно, чтобы для всякого є > О нашлось окончание b = b(e) базы В такое, ЧТО ДЛЯ любых его точек Xi и X2 и любого у Є Y выполнялось бы условие
|/(*1,У) - /(Я2,у)| < е.
Доказательство. Необходимость. Если
в
/(я, у)
то для всякого є > 0 существует окончание fe(e) такое, что для всех у 6 Y справедливо неравенство
-P(V)I <?/2.
Тогда для любых х\ и х2 Є Ь(є) и любого у Є К имеем !/(X1, у) - f(x2,y)I < !/(xi, у) - 5(у)| + \g(y) - /(х2, у)| < є/2 + є/2 = є.
442 Достаточность. Зафиксируем произвольную точку у Є У Тогда функция Л(х) = hy{x) = f(x, у) удовлетворяет обычному критерию Коши для сходимости по базе. Следовательно, существует число
д = д(у) такое, что Л(х)—></, т.е. имеет место поточечная сходимость
Jj
h{x) = hy{x) = /(х, у) ~+д{у),
где д(у) — некоторая функция, определенная на множестве У. Покажем, что данная сходимость является равномерной на У. Действительно, рассмотрим окончание 6(є) с условием, что при любых Xi и X2 Є Ь(є) и при любом у Є У выполняется условие
|/(хьу)-/(х2,у)|<є/2.
В этом неравенстве при фиксированном у перейдем к пределу по базе В применительно к переменной х2. Тогда получим
\}{*иу)-9{у)\<є(2<є.
Последнее неравенство выполняется при любом Xi Є Ь(є) и при любом у Є У Это означает, что
j?
Теорема 2 полностью доказана.
В заключение в качестве прямого следствия теоремы 2 приведем прямую формулировку критерия Коши отсутствия равномерной сходимости на множестве У для функции /(х, у) по базе В, заданной на множестве X.
ТеоремаЗ (критерий отсутствия равномерной сходимости). Пусть (х, у) € X X У. Для того чтобы равномерная сходимость функции /(х,у) на множестве У по базе By заданной на X, не имела места, необходимо и достаточно, чтобы при некотором є > 0 для любого окончания b Є В существовала пара точек Xi ? b и X2 Є b и точка У Є У с условием
І/(*ьу) - /(»з,У)I >?.
Замечание. И в теореме 2, ив теореме 3 из двух возможных определений равномерной сходимости, по Коши и по Гейне, рассматриваются первое определение. Если же опираться на второе определение, которое, как было показано выше, ему эквивалентно, то тогда вопрос по существу сводится к критерию Коши равномерной сходимости функциональной последовательности, доказанному ранее в 53 гл. XVI. Лекция 26
§ 6. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ НЕСОБСТВЕННЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ
Дальнейшее развитие теории интегралов, зависящих от параметра, приводит к рассмотрению несобственных интегралов, которые составляют ее наиболее существенную часть. Из двух типов таких интегралов сосредоточим свое внимание главным образом на интегралах первого рода. Интегралов второго рода коснемся лишь вскользь, поскольку их теория не имеет принципиальных отличий от интегралов первого рода.
Рассмотрим функцию f(x,y), заданную на множесве I х Yi где I — промежуток вида [а,+оо), а У — некоторое множество вещественных чисел, т.е. У С A. Допустим, что при любом фиксированном у E Y функция f(x, у) интегрируема по Риману на любом конечном отрезке вида [a,fe] и существует несобственный интеграл первого рода от этой функции по переменной X Є I = [a,+oo). Тогда этот интеграл сам представляет собой некоторую функцию от у, заданную на У равенством
OO
9ІУ) = J f(x,y)dx.
Определение 1. Функция д(у), представленная в указанном выше виде, называется несобственным интегралом первого рода, зависящим от параметра у Є Y.
Замечание. Вместо несобственных интегралов по промежутку вида [а, +оо) можно, разумеется, рассматривать интегралы по промежуткам вида (—оо, 6] или по всей вещественной прямой K = (—оо, +оо). Все эти случаи сводятся к рассмотренному точно так же, как это делалось при изучении обычных несобственных интегралов. Например, интеграл
