Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
|Д%о)1 < Mj/)] + ЬЫ1 < Ф -a) + IeM = ?(Ь - а + 2 М).
Но так как є > 0 произвольно, то отсюда следует, что функция h(y) непрерывна в точке у = уо Є I2, а также и на всем отрезке I2.
Теорема 2 доказана.
Следует заметить, что приведенное выше доказательство теоремы 1 фактически состоит из вывода следующих двух утверждений.
Утверждение 1. Если функция /(яг, у) непрерывна на П = Ji х I2, где 1\ и I2 — отрезки вида Ii = [а, 6] и I2 = [с, d\ и если функция g{x) = 9у{х) = /(х, у), то при любом у0 Є I2 имеем
9у{х) = /(х, уо) при у у0.
Л
430 Утверждение 2. Пусть для некоторого уо Є [с, d] при у —>¦ Уо
имеет место равномерная сходимость f(x, у) =4 f{x,yo). Кроме того, в
[в.Ь]
некоторой окрестности точки уо существует параметрический интеграл ь
вида J f(x) у) dx. Тогда при у —> уо существует предел
a
Ь Ь
Iim / f(x,y)dx = / f(x, уо) dx. У->Уо J J
a a
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ
Теоремаї (правило Лейбница). Пусть функция f{x,y) непрерывна на П — /і X /г, где Д и I2 — отрезки, Z1 = [а, 6], I2 = [с, d\. Пусть частная производная fy{x, у) существует и непрерывна на П. Тогда функция д(у), где
о
9ІУ) = J f{x,y)dx,
является дифференцируемой на I2y причем
ь
9'(У) = J fy(x,y)dx.
Доказательство. Зафиксируем произвольно точку у Є I2. При любом hф 0 с условием у + h E I2 можем записать равенство
ъ
g{y + h) - д(у) [ f(x, у + h) - f{x, у)
J
dx.
Подынтегральная функция в правой части этого равенства непрерывна по х, и поэтому она интегрируема по Риману. Применяя к ней формулу конечных приращений Лагранжа, получим
ь
9ІУ + Л) -д(у)
j fy{x,y + 0h)dxt 0 < в < 1.
431 Ввиду непрерывности fL{x, у) на П и на основании утверждения 1 § 1
'У
имеем
/J(*,y+0A):4/J(*,y) При Л-Ю. 11
Наконец, используя утверждение 2 § 1, приходим к равенству
fc^-УМ-/*(¦.,)*¦
Теорема 1 доказана.
Теорема2 (обобщенное правило Лейбница). В условиях теоремы 1 будем считать, что a (у) и ?(y) дифференцируемы на I2 и a < a(y),?(y) < b. Тогда имеет место формула
?(v) \ '
9'(У)- J /(х,у)Л
,«(у) ?{y)
= I fy(x,y)dx + f(?(y),y)?'(y)-f(a(y),y)a,(y). «(у)
Доказательство. Пусть, как и выше, h ф 0 и точки У, У+ h Є I2- Рассмотрим выражение d(h), где
/ 0(У+Л) ?(y)
d(h) = 9(y + h)^g(y) = 1 -J /(lj у + h)ix _ J f{Xt y)dx
У(У+Л) «(у)
Используя стандартные обозначения Лот = а(у + h) — а(у), A? = = /?(у + /г) — /?(у), Af = f(x,y + h) — f(x,y), его можно записать в виде
?
d(h) = h-1 J[f{x, y + h)- f(x, y))dx+
a ?+b?
+Л"1 J f{x,y + h)dx + h~l J f{x,y + h)dx =
ог+Да ?
= Ai + A2 + As.
432 Дословно повторяя рассуждения теоремы I1 для интеграла Ai при h —> 0 будем иметь
Л, !,{,.,и,
а'
Далее, применяя теорему о среднем для интегралов A2 и Az и используя непрерывность функции /(х,у), получим
Ao AB
A2 =——f(a + 0tAa,y+h), A3= —^~f(? + QzA?, y + h).
Отсюда при h 0 имеем
A2 -a'(y)f(a(y),y), A3^?'(y)f(?(y)ty).
Теорема 2 доказана.
Пояснение к доказательству теоремы 1. Проведем более подробно обоснование возможности предельного перехода
ь ь
lim J fy(x,y + 0h) dx = J %(x,y)dx,
а а
опираясь на условие равномерной сходимости
f'y(x,y+eh)=tfl{x,y) при h ^ 0, где Z1= [а, 6].
Как известно, интеграл по отрезку 1\ от функции F(x, h) = f'y (ж, у+Oh) есть предел интегральных сумм
п
<т(Г) = м:г) = A) Axfc.
^=i
Здесь предел берется по базе Aj 0, определенной на основном множестве А, образованном всеми размеченными разбиениями {Т} отрезка Ii = [а, 6]. При этом точки a = xi < X2 <¦¦•< хп = b образуют разбиение, а точки •¦•,?» лежат соответственно на
отрезках [xq, xi], . .., [xrt_i, хп
] и образуют его разметку, величины же
AXk = Xk — Xk-i ра,вны длинам соответствующих отрезков. Функция
сгр(Т) определена на множестве А, а величина A^ равна maxАх&,
к
и, наконец, окончания b$, 6 > 0, базы Ат —0 состоят из всех размеченных разбиений T с условием At < S.
Важно подчеркнуть, что если при некотором є > 0 и всех X G h имеем
\F(x, h) - F(x, 0)| = I fv(x, у + Oh) — fy(x, у)I < є,
433 то \(TF(X)h){T) - <tf(Xj0){T)\ <Є.
Отсюда следует, что если при h -4 О выполнено условие
h
то и при h —У 0 также имеем
А
Но тогда оба повторных предела существуют и равны между собой, т.е. существует предел
Z= Iim lim <TFtx h\(T) = lim lim <tF/x h\IT). При этом имеем
b
lim <rF(x>h){T) = f %{x,y + eh)dx,
Дт-+0 J
а
Ximf'{x,y + eh)=f'y(x,y),
Л-+0 y *
откуда
6 b YimJ f'y(x,y + dh)dx = J fl(x,y) dx,
а а
что и утверждалось выше.
С другой стороны, аналогичное утверждение прямо доказано нами в теореме 1 § 1 на основе использования равномерной непрерывности подынтегральной функции. Точно так же мы могли бы рассуждать и в данном случае.
ТеоремаЗ. Если функция f(xty) непрерывна на прямоугольнике П= 1\ х 12, где Ii = [а, 6], 12 = [c,dj, то оба повторных интеграла
b d d Ь
H = J dx J f(x,y)dy и G = Jdy J f(x,y)dx
