Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
а с с a
существуют и равны между собой.
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию g(t,y)i где
t
9(t, У)= J f(x,y)dx, *б[а,6], ye[c,d\.
434 Покажем, что эта функция непрерывна на П по совокупности переменных (t,y). Действительно,
{Agj = + At, у + Ay) -<7(f,y)| =
( + д? t
j f(xty + Ay)dx -J f(x, y)dx
<
<
t t+At
J(f(x>y + Ay) -f(x,y))dx + J /(x,y + Ay)e?
<
< (b- a)max|Ay/(x,y)| + cjAt|,
где C= max |/(r,y)j.
Поскольку функция f{x,y) непрерывна, maxAy/(x,y) —> 0 при
і
Ay -у 0. Следовательно, A^ 0 при (Ay1At) -> (0,0), т.е. g(x,t) непрерывна на П.
Далее, g't(t,y) = /(t,y), поэтому по теореме 1 для функции
d dt G{t) = J g{t,y)dy = J dy j f(x,y)dt
с a
имеем
a a a
= Jg(t,v)dy = Jg't(x,y)dy = J f(t,y)dy = h(t).
CC C
d
С другой стороны, функция h(t) = f f(t,y)dy тоже непрерывна, по-
с
этому по формуле Ньютона - Лейбница
t
h(t) = ~Jh(x)dx = H<(t))
t t d где H(t) = f h(x)dx = Jdxf f(x,y)dy.
а ас
Следовательно, h(t) = H'(t) = Gf(t). Кроме того, очевидно, что G1(O) = H(O) = 0, поэтому при всех t ? h имеет место равенство G(t) = H(t). В частности, при t = Ь имеем G — G(b) = H(b) = Н. Теорема 3 доказана. Лекция 26
§ 3. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА
Дадим приложение обобщенного правила Лейбница (теорема 2 § 2) к выводу формулы Лагранжа с остаточным членом в интегральной форме. Этой формуле Лагранж посвятил две знаменитые работы, опубликованные в Memoires de VAcademie de Berlin (1768) и Note (1798, XI). Здесь мы приводим доказательство ее, предложенное E. И. Золотаревым.
Теорема (формула Лагранжа), Пусть функция f(x) имеет п непрерывных производных для всех X Є IR. Пусть некоторая функция х = x(u,t) будет решением уравнения
T 1-х + tf(x) = 0.
Тогда для любой функции F(у), имеющей п непрерывных производных, справедлива формула
k= 1
где
n\ dun
Доказательство, Рассмотрим функцию
x (и)
Sk=Sk{и) = J F(x)(u~x + tf{x))kdx.
и
Продифференцируем ее по параметру и. Из теоремы 2 получим
^ = kSk-i-tkF(u)fk(u),
т.е.
с tk г'/ \tkf \ , 1 dSk S^1 = JFW M + J-^-.
Продифференцируем последнее равенство /:-1 раз. Имеем dk-*Sk-i = tkdk~l(F'(u)fk(u)) | IdkSk.
duk~l k duk~l к duk
436 Перепишем это равенство при к = 1,..., ті. Получим
S0 ^tF (U)Z(U) + ^,
dSi _ і2 а{?{ч)р{и)) ^ Id2S2
du 2 du 2 du2
CT-1Sn-I f"«*—1^'(«)/"(«)) L 1 dnSn
¦ ' ¦ TT ¦'¦¦¦¦¦—¦ ¦¦¦" ¦ ' —— ——— §
dun~1 n dun~l n dun
Подставим последнее выражение в предпоследнее и так далее до первого выражения. Будем иметь
So-tF (u)f(u)+----+ '"+Jf-^-+ йїлг-
Кроме того, для Sq справедливо равенство
S0= J F {x)dx = F{х(и))-F(и).
и
Подставим эту формулу в предыдущее выражение. Получим сформулированное в теореме утверждение
F(x(u)) = F(u) + ? jj-^tlLi +
к-1 '
где
Л - 1 rffiSn - 1 +
n n! du" n! ' dun
Теорема доказана.
Приведем два частных случая формулы Лагранжа.
1. В случае когда выполнено тождественное равенство f(x) = 1, формула Лагранжа превращается в формулу Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.
2. Пусть /(ас) = sinx. Тогда функция х = х(и) является решением уравнения Кеплера
X — t sin X = U,
где t — эксцентриситет эллиптической орбиты в задаче двух тел.
437 Для функции Д(аг) = 1 — t cos х Лаплас получил разложение в ряд Лагранжа
и, по существу, установил его сходимость при t < 0,662...
В заключение отметим, что о богатстве содержания понятия ряда Лагранжа позволяют судить исследования этого ряда, которые провели Эйлер, Ламберт, Лаплас, Бюрман, Пфафф, Шлемильх, Гейне, Коши, Якоби, дю Буа Раймон, Руше, П. Л. Чебышёв, Е. И. Золотарев, Ю. В. Сохоцкий, П. А. Некрасов. Исследования по вопросам сходимости обобщений ряда Лагранжа актуальны и сегодня.
OO
*к dk~1{smu)k+l duk~l Лекция 26
§ 4. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ ПО ГЕЙНЕ
Понятие равномерной сходимости функции по базе множеств является обобщением классического понятия равномерной сходимости и опирается в своей основе на понятие предела функции по Коши. В математическом анализе используется и другой тип определения предела — предела по Гейне, как обычного, так и равномерного. Оба определения равномерной сходимости — по Кощи и по Гейне — эквивалентны, и каждое из них оказывается более предпочтительным в своей сфере применения. Ввиду удобства использования обоих этих определений в различных ситуациях, мы докажем теорему об эквивалентности понятий равномерной сходимости по Коши и по Гейне в общем случае сходимости по базе множеств.
Нам потребуется несколько новых определений.
Определение 1. Пусть В — некоторая база, определенная на основном множестве X, и для любых ее окончаний &1 и Ь2 имеем или bi с Ь2, или b2 С bi. Назовем последовательность { Є X, фундаментальной по базе В, если вне любого окончания 6 содержится лишь конечное число членов этой последовательности.
Определение 2, Фундаментальную последовательность {хп} мы будем называть монотонной по базе В, если для любого окончания b условие xn € b влечет за собой включение Є b.
