Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Архипов Г.И. -> "Лекции по математическому анализу" -> 127

Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.

Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу — M.: Высш. шк., 1999. — 695 c.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка): lexiipomatematanalizu1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 121 122 123 124 125 126 < 127 > 128 129 130 131 132 133 .. 201 >> Следующая


OO OO

Yl Yl lam,n|- Представим значение определителя D матрицы В в

m = l Ti = I

виде суммы ряда:

OO

D = D1 + (D2 - D1) + [D3 - D2) + • • • = d1 + Cf2 + d3 + ... = Yl dn-

n=1

Согласно теореме 1 при всех п? M справедлива оценка

K+ii - IAh-I - Dn \ < Pn+1 -Pn= Pn+1, где Pn — мажоранты Пуанкаре определителя Dn и Pn < Р. Отсюда

оо

следует, что сходящийся ряд Yl Pn+1 = P — P1 является мажорантой

п = 1

оо

для ряда Yl dn+1, и поэтому сходится последний ряд, а также

п=1

и последовательность его частичных сумм Dn. Но это и означает сходимость бесконечного определителя D. Теорема доказана.

Замечание. Аналогичная теорема имеет место и для бесконечного определителя D матрицы В вида В ~ (Ьт>п), где -оо < т,п < +оо. Здесь частичные определители Dm

и матрицы Bm имеют вид Dm = \\Bm\\, Bm = (bk>l), -m<k,l<m.

424 Задача. Доказать теорему Коха о том, что необходимым и достаточным условием абсолютной сходимости определителя D вида

1 Ofl . . о о
?l 1 о о
о О 1 «т
о О . ?m 1

является абсолютная сходимость ряда Ylan?n- При этом абсолютная

OO

сходимость определителя D означает сходимость ряда E -Dm

т=1

В заключение дадим еще одно определение, обобщающее понятие мажоранты Пуанкаре.

Определение 4. Пусть An (х) — функциональная последовательность, a Bn - числовая последовательность, причем Bn —ї В при п —)-,оо. Пусть также при всех n G N для каждого х ? D справедливо неравенство I An+i (я) — An (х)| < Bn+i — Bn. Тогда числовая последовательность Bn называется мажорантой для последовательности функций An (х) на множестве D.

Очевидно, что последовательность Ап(х), имеющая на множестве D мажоранту Bn, равномерно сходится на этом множестве.

§ 11. РАВНОСТЕПЕННАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ТЕОРЕМА

АРЦЕЛА

Докажем теорему Арцела, важную главным образом для приложений за пределами основного курса математического анализа.

Определение 1. Множество функций M называется равностепенно непрерывным на отрезке I = [а, 6], если для всякого є > О найдется число S ~ <5(є) > О такое, что для любой функции f(x) Є M и любых Xi и X2 с условием |жі - x2j < S справедливо неравенство

If(Xi)- f(X2)I <6.

Теоремаї (теорема Арцела). Если бесконечное множество функций M равномерно ограничено на отрезке I и равностепенно непрерывно на нем, то из всякой последовательности функций fn(x) E M можно выбрать подпоследовательность fnk(x), равномерно сходящуюся на I к некоторой непрерывной на I функции fo(x), не обязательно принадлежащей М.

Доказательство. Будем для простоты считать, что I = [О, 1]. Идея доказательства состоит в замене с допустимой

425 ошибкой произвольной точки х при использовании критерия Коши на близкую к ней двоично-рациональную точку с возможно меньшим знаменателем.

Занумеруем множество {хп} всех двоично-рациональных чисел а/2к этого отрезка в порядке возрастания показателя степени к при его различных значениях и в порядке возрастания числителя дроби а при равных значениях знаменателя дроби 2к. Таким образом, имеем Xi = O, X2 = I, X3 = 1/2, X4 = 1/4, X5 = 3/4,...,х2*+1 = (2* -

l)/2fc, X2*-(-2 = l/2k+1,____ Рассмотрим теперь множество чисел В і =

{Л(хі)}, где /п(х) — исходная последовательность функций, /п(х) Є М. Множество Bi ограничено в силу условий, наложенных на Л/, и по теореме Больцано - Вейерштрасса из последовательности В\ можно выбрать сходящуюся подпоследовательность Znm (xi).

Рассмотрим последовательность номеров ni,..., nm,... получившейся последовательности и образуем первую вспомогательную подпоследовательность функций Gi = {д\ ,mixjj, полагая д\)ГП (х) = /Пт (х). Тогда будем иметь, ЧТО последовательность (/l,m(xi) = Znm(Xi) сходится к некоторому значению у\.

Далее образуем по тому же правилу подпоследовательность функций G2 = {^2,i(x),.. .,?2,m(x),...}, используя в предыдущих рассу-ждениях последовательность </і,т(х) вместо Zn (х) и точку x2 вместо Xi. В результате получим, что <jr2)m(x) — подпоследовательность для {pi,m(x)} и 02,т(х2) —> У2 ПрИ 771 —> OO. МнОГОКраТИО ПОВТОрЯЯ ЭТОТ ПрО-цесс, получим подпоследовательности Gz — {03,m(x)}, G4 — {54,т(х)} и т.д., причем тогда gk,m(xk) —Ук при т —>(оо и последовательность дк,т{я) будет подпоследовательностью относительно <7fc_ijm(x) при всех к > 2.

Рассмотрим теперь "диагональную" последовательность функций {Лп(х)}, где hn(x) = дп,п(х). По построению, начиная с номера п = к, все функции hn (х) при п > к образуют подпоследовательность последовательности Gk, поскольку hn(x) = дп>п(х) Є Gn С Gn_i C--C Gk-Отсюда следует, что при любом к и п > к числовая последовательность hn(xk) является подпоследовательностью ДЛЯ ffn(Xfc), и поэтому ^n(xfc) —У Ук При п оо.

Покажем, наконец, что последовательность функций hn(х) удовлетворяет критерию Коши равномерной сходимости. Рассмотрим произвольное ЧИСЛО Є > О и покажем, ЧТО существует номер По = По(е) такой, что при всех т и п > щ одновременно для всех х Є / выполнено неравенство (Zm(х) — Zn (х)| < ?. Для этого, используя равностепенную непрерывность множества функций М, найдем число 6 = S(є/3) такое, ЧТО при всех xi и x2 є / с условием |х2 — xil < J и для любой функции Z(x) € M имеем |Z(x2) — Z(^i)I < є/3. Выберем число к из условия 6/2 < 2~к < S и перенумеруем все двоично-рациональные точки Xi,...,x2k+1 со знаменателями, не превосходящими 2к, в порядке возрастания их величин. Если zi,...,22k+i — их новая нумерация, то
Предыдущая << 1 .. 121 122 123 124 125 126 < 127 > 128 129 130 131 132 133 .. 201 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed