Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
OO OO
Yl Yl lam,n|- Представим значение определителя D матрицы В в
m = l Ti = I
виде суммы ряда:
OO
D = D1 + (D2 - D1) + [D3 - D2) + • • • = d1 + Cf2 + d3 + ... = Yl dn-
n=1
Согласно теореме 1 при всех п? M справедлива оценка
K+ii - IAh-I - Dn \ < Pn+1 -Pn= Pn+1, где Pn — мажоранты Пуанкаре определителя Dn и Pn < Р. Отсюда
оо
следует, что сходящийся ряд Yl Pn+1 = P — P1 является мажорантой
п = 1
оо
для ряда Yl dn+1, и поэтому сходится последний ряд, а также
п=1
и последовательность его частичных сумм Dn. Но это и означает сходимость бесконечного определителя D. Теорема доказана.
Замечание. Аналогичная теорема имеет место и для бесконечного определителя D матрицы В вида В ~ (Ьт>п), где -оо < т,п < +оо. Здесь частичные определители Dm
и матрицы Bm имеют вид Dm = \\Bm\\, Bm = (bk>l), -m<k,l<m.
424Задача. Доказать теорему Коха о том, что необходимым и достаточным условием абсолютной сходимости определителя D вида
1 Ofl . . о о
?l 1 о о
о О 1 «т
о О . ?m 1
является абсолютная сходимость ряда Ylan?n- При этом абсолютная
OO
сходимость определителя D означает сходимость ряда E -Dm
т=1
В заключение дадим еще одно определение, обобщающее понятие мажоранты Пуанкаре.
Определение 4. Пусть An (х) — функциональная последовательность, a Bn - числовая последовательность, причем Bn —ї В при п —)-,оо. Пусть также при всех n G N для каждого х ? D справедливо неравенство I An+i (я) — An (х)| < Bn+i — Bn. Тогда числовая последовательность Bn называется мажорантой для последовательности функций An (х) на множестве D.
Очевидно, что последовательность Ап(х), имеющая на множестве D мажоранту Bn, равномерно сходится на этом множестве.
§ 11. РАВНОСТЕПЕННАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ТЕОРЕМА
АРЦЕЛА
Докажем теорему Арцела, важную главным образом для приложений за пределами основного курса математического анализа.
Определение 1. Множество функций M называется равностепенно непрерывным на отрезке I = [а, 6], если для всякого є > О найдется число S ~ <5(є) > О такое, что для любой функции f(x) Є M и любых Xi и X2 с условием |жі - x2j < S справедливо неравенство
If(Xi)- f(X2)I <6.
Теоремаї (теорема Арцела). Если бесконечное множество функций M равномерно ограничено на отрезке I и равностепенно непрерывно на нем, то из всякой последовательности функций fn(x) E M можно выбрать подпоследовательность fnk(x), равномерно сходящуюся на I к некоторой непрерывной на I функции fo(x), не обязательно принадлежащей М.
Доказательство. Будем для простоты считать, что I = [О, 1]. Идея доказательства состоит в замене с допустимой
425ошибкой произвольной точки х при использовании критерия Коши на близкую к ней двоично-рациональную точку с возможно меньшим знаменателем.
Занумеруем множество {хп} всех двоично-рациональных чисел а/2к этого отрезка в порядке возрастания показателя степени к при его различных значениях и в порядке возрастания числителя дроби а при равных значениях знаменателя дроби 2к. Таким образом, имеем Xi = O, X2 = I, X3 = 1/2, X4 = 1/4, X5 = 3/4,...,х2*+1 = (2* -
l)/2fc, X2*-(-2 = l/2k+1,____ Рассмотрим теперь множество чисел В і =
{Л(хі)}, где /п(х) — исходная последовательность функций, /п(х) Є М. Множество Bi ограничено в силу условий, наложенных на Л/, и по теореме Больцано - Вейерштрасса из последовательности В\ можно выбрать сходящуюся подпоследовательность Znm (xi).
Рассмотрим последовательность номеров ni,..., nm,... получившейся последовательности и образуем первую вспомогательную подпоследовательность функций Gi = {д\ ,mixjj, полагая д\)ГП (х) = /Пт (х). Тогда будем иметь, ЧТО последовательность (/l,m(xi) = Znm(Xi) сходится к некоторому значению у\.
Далее образуем по тому же правилу подпоследовательность функций G2 = {^2,i(x),.. .,?2,m(x),...}, используя в предыдущих рассу-ждениях последовательность </і,т(х) вместо Zn (х) и точку x2 вместо Xi. В результате получим, что <jr2)m(x) — подпоследовательность для {pi,m(x)} и 02,т(х2) —> У2 ПрИ 771 —> OO. МнОГОКраТИО ПОВТОрЯЯ ЭТОТ ПрО-цесс, получим подпоследовательности Gz — {03,m(x)}, G4 — {54,т(х)} и т.д., причем тогда gk,m(xk) —Ук при т —>(оо и последовательность дк,т{я) будет подпоследовательностью относительно <7fc_ijm(x) при всех к > 2.
Рассмотрим теперь "диагональную" последовательность функций {Лп(х)}, где hn(x) = дп,п(х). По построению, начиная с номера п = к, все функции hn (х) при п > к образуют подпоследовательность последовательности Gk, поскольку hn(x) = дп>п(х) Є Gn С Gn_i C--C Gk-Отсюда следует, что при любом к и п > к числовая последовательность hn(xk) является подпоследовательностью ДЛЯ ffn(Xfc), и поэтому ^n(xfc) —У Ук При п оо.
Покажем, наконец, что последовательность функций hn(х) удовлетворяет критерию Коши равномерной сходимости. Рассмотрим произвольное ЧИСЛО Є > О и покажем, ЧТО существует номер По = По(е) такой, что при всех т и п > щ одновременно для всех х Є / выполнено неравенство (Zm(х) — Zn (х)| < ?. Для этого, используя равностепенную непрерывность множества функций М, найдем число 6 = S(є/3) такое, ЧТО при всех xi и x2 є / с условием |х2 — xil < J и для любой функции Z(x) € M имеем |Z(x2) — Z(^i)I < є/3. Выберем число к из условия 6/2 < 2~к < S и перенумеруем все двоично-рациональные точки Xi,...,x2k+1 со знаменателями, не превосходящими 2к, в порядке возрастания их величин. Если zi,...,22k+i — их новая нумерация, то