Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Теорема2 (критерий существования повторных пределов по базам множеств). ,Пусть на множестве X — {ж} задана база В, а на множестве Y = {т/} — база D. Рассмотрим функцию /(ж, у), определенную на декартовом произведении X х Y и удовлетворяющую следующим условиям:
В D
f(x,y)^-g(y)'> f(x,y)-+h(x).
Тогда для того чтобы оба повторных предела limIim/(ж, у) = limg(y) и limIim/(ж, у) = limh(ж) существовали и были равны между собой,
BDB
необходимо и достаточно выполнения следующего условия: для любого є > 0 найдется окончание Ь(е) E В такое, что для каждой его точки ж существует свое окончание d— dx(e) Є D, для всех точек у которого выполнено неравенство |/(ж, у) — < е.
Доказательство. Необходимость. Пусть оба повторных предела существуют и равны L Тогда справедлива оценка
\f(X:V) -9(у)\ = IO, у) - h(x)) + (h( ж) -I) + (1-9(у))\ <
<\f(x,y)-h(x)\ + \h(x)-l\ + \l~g(y)\.
Так как оба. повторных предела равны то для всякого є > О найдутся окончания 6 E В и d E D такие, что при всех ж E Ь и при всех у E d имеем
' \h(x)-l\<e? и \g(y)-l\<e/z.
Кроме того, при фиксированном ж E 6 в силу условия /(ж, у) ^th(x) найдется окончание d\ ? D, для всех точек у которого выполнено неравенство |/(ж, y)—h(ж)| < є/З. Теперь в качестве искомого окончания Ь(є) возьмем окончание Ь, а в качестве dx(s) возьмем некоторый элемент с?о Є Dt принадлежащий пересечению d и di, т.е. dx(e) — do С
409 dC\di. Тогда для всех точек х Є Ь(є) и всех у Є dx(є) будут выполнены все три неравенства, откуда имеем
\f(x,y)-g{y)\ <?.
Необходимость доказана.
Достаточность. Возьмем произвольное число б >0 и рассмотрим окончание 6(e) € В из условия теоремы. Проверим выполнение критерия Коши для сходимости д(у) по базе D. Для этого рассмотрим фиксированную вспомогательную точку х Є Ь(є) и соответствующее
ей окончание dx (є) базы D. Далее, в силу сходимости /(х, у) h(x) из критерия Коши следует, что при данном х найдется окончание d € D такое, что для всех уі, у2 Є d справедливо неравенство |/(х, уі) — /(х, j/2)| < Возьмем теперь окончание do С dndx{e). Для любых точек Уі и у2, принадлежащих окончанию do € D, величина А = |<КУі)™!/(У2)| оценивается так:
А < Иї/і) - fix, yi)| + I fix, ух) - fix, y2) I + i/(x, y2) - 9ІУ2) і < 3<Г.
Это и означает, что при некотором I имеет место сходимость д(у) ^l.
Осталось показать, что h(x)^l. Для этого снова возьмем произвольное число є > 0 и соответствующее ему окончание 6(є) € В, и для каждой фиксированной точки х Є і>(є) оценим величину Ai = \h(x) —
Из условий fix, у) ->Л(х) и д{у) следует, что существует окончание d Є D такое, что для всех у € d выполняется неравенство
\/{х,у)-Н(х)\<є и Иу)-/|<?.
Возьмем вспомогательную точку у 6Е dC\dx(e). Тогда справедлива оценка
A1 = Ih{x) - l\ < Ih(x) - f{x, у)\ + If{x, у) - + \д(у) -1\< Зе.
Другими словами, имеем h(x)—її. Теорема 2 доказана полностью.
Замечание. Если в формулирові& теоремы 2 положить dx (е) = У, то получится условие равномерной сходимости по базе В относительно множества У. В этом случае утверждение теоремы 2 будет следствием теоремы 1. Таким образом, теорема 2 позволяет осуществлять перестановку предельных переходов при более слабых ограничениях. Однако при этом двойной предел в общем случае уже не существует, так что обе теоремы имеют свои сферы применения. Тем не менее если в условии теоремы 2 считать, что в качестве dx(e) можно взять окончание d(e) одним и тем же вне зависимости от точки х є 6(f), то двойной предел существует и равен повторному.
Отметим также, что утверждение теоремы 2, являясь критерием существования и равенства повторных пределов, симметрично относительно двух рассматриваемых баз. в то время как в ее условие обе базы входят неравноправно. Это дает определенную свободу выбора при ее использовании.
410 Лекция 22
§ 8. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
OO
Напомним, что степенной ряд — это ряд вида Y ап{* — яо)" = А(х),
п=0
ґде Xq — фиксированное вещественное число. Основные свойства степенных рядов практически не зависят ot*xo, и поэтому часто считают, что хо = 0.
Примерами степенных рядов являются рассмотренные ранее ряды Тейлора. Оказывается, что всякий степенной ряд является рядом Тейлора своей суммы. Рассмотрим вопросы, связанные с определением области сходимости степенного ряда.
Определение 1. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда Yan{x — хо)п, если этот ряд сходится при всех x с условием \х — Xoj < R и расходится при \х — х0| > R.
Корректность определения обеспечивается следующей теоремой.
Теоремаї (теорема Коши - Адамара). Пусть задан степенной ряд Ylfnix) = Y ап(*-*о)п> Рассмотрим числовую последовательность 6n = |an|1/n. Тогда;
1) если Ьп является неограниченной последовательностью, то этот ряд расходится при всех х ф хо;
2) если Ьп ограничена и I = lim Ьп ф 0, то Я = 1//;
3) если lim Ьп — 0, то данный ряд сходится при всех х Є К,
п-+оо
Напомним, что для всякой ограниченной последовательности существуют верхний и нижний пределы.
Доказательство, Для краткости записи будем считать, что число хо равно нулю. Для общего члена числового ряда имеем равенство
