Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Многие свойства суммы А(х) такие, например, как непрерывность суммы ряда Yan(ж), связаны с поведением его остатка гп(х) при п оо. Для описания этого поведения далее будет введено важное понятие равномерной сходимости функциональных рядов и функциональных последовательностей на множестве. Для того чтобы подчеркнуть отличие от него введенного выше понятия простой сходимости, последнюю называют еще поточечной сходимостью.
Важные примеры функциональных рядов возникают из разложения различных функций по формуле Тейлора. Например, разлагая в точке
Xq = О фуНКЦИЮ у = SUl X При I G 1, ИМЄЄМ
Xz X2n*1
Sin « = X - - + . . . + (-1)-' J + г„(х),
389 где rn(z) — остаточный член формулы. Записывая его в форме Лагранжа, получим
Jl п
Х ¦ ,(2п)
rn(s) = (2n)Ts z
при некоторой точке z с условием, что она лежит между точками О и х. Отсюда
•п(*)| <
Xl2n
(2п)Г
Но при п > X2 имеют место следующие неравенства:
т2п t2 1
(2п)! > п"+\ ±-<^<±, (2 п)\ пг п
т.е. гп(х) —> 0 при п —> оо. Таким образом, полагая
(-і)»-','-» а°(х)= (8,-1)1 '
OO
при всех X Є M имеем разложение sinx = ? ап(ж)'
Г1 —1
Определение 7. Степенной ряд JZJJL0 ^ (х — а)" называется рядом Тейлора функции /(х) в точке х — а, а также разложением функции /(і) в ряд Тейлора в этой точке.
Примеры рядов Тейлора для некоторых функций:
1) «*= Ё 5т (V*€A);
п=0
OO
2) ln(l + x) = (-К*< і);
п = 1
3) Sini= ?(-1)-1^ (V16H);
4) COSX= (Vx Є A);
5) (l+x)a = l + E «(«-i?^-"+^" (-1<х<1);
n = l
OO _
6) arctg X = ^ (1*1 <I);
7) Otcsm1 = X+ ? (W<1).
n=l
390 § 2. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ
Определение 1. Пусть последовательность функций {**„(#)} сходится к нулю при всех X € M. Тогда говорят; что гп(х) сходится к нулю равномерно на множестве М, если для любого є > О найдется такой номер n0 = n0(e)f что при всех п>«о и одновременно при всех X Є M выполнено неравенство |гп(х)| < є.
В этом случае используют обозначение: г„(х)=^0 при п —у ос.
Замечание. Слово "одновременно" в этом определении, вообще говоря, является избыточным и его можно опустить, однако оно обращает внимание на главное отличие равномерной сходимости от поточечной, состоящее в том, что в первом случае число По (є) в определении предела одно и то же для всех точек X Є М, а во втором случае оно может зависеть еще и от х, т.е. п0(є) = по(є,х).
Определение 2. Если функция j4(x) = Лп(х) + гп(х), где г„(х)=40
м
при п —у оо, то последовательность Ап(х) называют равномерно сходащейся к функции Л (г) на множестве M при п —у оо и это обозначают так:
Ап(х) =4 А(х) при п —> оо.
M
Символ M здесь можно опустить, если по смыслу понятно, о каком множестве идет речь. Далее, если при этом An(ж) — последовательность частичных сумм ряда ]Г]ап(х), то этот ряд называют равномерно сходящимся к А(х) на множестве M.
Важность введенного понятия равномерной сходимости видна на примере следующей теоремы.
Теорема 1. Пусть каждая из функций an(x) непрерывна в точке хо Є M и ряд Yl ап(я) равномерно сходится к функции А(х) на интервале / = (хо — 5, х0 -M), где S > 0 — некоторое фиксированное число. Тогда сумма А(х) является непрерывной функцией в точке X = Xo-
Доказательство. По определению равномерной сходимости имеем
Л(х) = An{x) + гп(х), г„(х)=*0 (" оо),
n OO
Jt = I <С=Т» + 1
Используя обозначение Д/(х) = /(х) — /(хо), где /{х) — любая функция, получим
АА{х) = ДЛ„(х) + Дг„(х) = ДЛ„(х) + rn(x) - гп(х0).
391 Отсюда
\АА(х)\ < \ААп(х)\ + |r„(x)J + Irn(X0)I-Поскольку гп(х)=?0 (п —> оо), при любом Єї > 0 найдется номер
По = Ro(^l) такой, ЧТО ДЛЯ всех п > По и для всех X 6 / имеем
MaOI < Єї, Ы*о)| < Єї.
Заметим теперь, что функция Ап{х) непрерывна в точке х = х0, поэтому для любого Єї > 0 найдется = (її (єі) > 0 такое, что при всех X С условием |х — Xoj < ^i выполнено неравенство
|ДАп(х)| = |Лп(х)-Лп(х0)|<Єі.
Теперь при заданном є > 0 можно взять Єї = е/Ъ, и тогда при всех х С условием |х —Xoj < (У(е) = <M?l) И при П = H0(^l) + 1 = п0(є) получим
|ДЛ(х)| < |ДАп(х)| + |rn (х) j + Irn(X0)I < Єі+€і +Єї= є.
Но это и означает, что функция А{х) непрерывна в точке х = хо-Теорема 1 доказана.
Далее рассмотрим некоторые простые свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей.
Определение 3. Последовательность функций {Ап (х)} называется равномерно ограниченной на множестве М, если существует такое число С, что при всех n E N и при всех х Є M имеем
|A>(x)| < С.
Утверждение 1. Равномерно сходящаяся на множестве M последовательность An (х), состоящая из ограниченных на M функций, является равномерно ограниченной на M.
Доказательство. Пусть Bm = sup JAm (х)|
х?М
для каждого натурального числа т. В определении равномерной сходимости возьмем 5=1. Тогда при всех достаточно больших n > по и при всех X Є M
I А(х) - An{x) I < 1, |Л(х)| < \Ап(±)\ +\<Вт + \.
Это значит, что А(х) ограничена.
Далее, пусть Во — sup |Л(х)|, В = max Bk. Положим C=B+ 1.
х?М 0<k<no
