Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
« Tl—ЮО n-foo x~*x0
Другими словами, эта теорема позволяет менять порядок выполнения двух последовательных предельных переходов вида х —> хо и п —» ос, Далее будет доказано утверждение весьма общего вида, а пока отметим, что почленное дифференцирование, как и почленное интегрирование, тоже можно рассматривать как изменение порядка выполнения предельных переходов относительно двух баз множеств разного типа.
Рассмотрим вопрос о почленном интегрировании ряда.
Теоремаї. Сумма Л(х) равномерно сходящегося на I = [а, ?] ряда ^n (х), составленного из функций, интегрируемых на [oc,?] по Риману, тоже является интегрируемой по Риману функцией, причем
В
0 0
Г °° f по
= / A(x)dx an(x)dx = Ylbn
І n=^i »=i
Доказательство. Согласно критерию Лебега интегрируемости функции по Риману мера множества Tn точек разрыва каждой из функций ап(х) равна нулю. Но тогда объединение T всех таких множеств, T = UTn, также имеет лебегову меру нуль. Все остальные точки промежутка / будут общими точками непрерывности одновременно для всех функций Qn (х). Поэтому в силу равномерной сходимости ряда Yl ап (х) сумма Л(х) этого ряда будет ограничена и в этих точках непрерывна. Другими словами, тогда лебегова мера точек разрыва ограниченной функции А(х) тоже равна нулю и
402 согласно критерию Лебега А(х) интегрируема по Риману на [a,?]. Тогда при всех п Є N имеем
? ? 0 J A(x)dx = J An(x)dx + J rn{x).
a
a
Ho так как rn(ar) =^ 0 при n —> оо, то sup |rn(z)| = pn —> 0 при n —> оо.
і і
Отсюда получим
? ? ? J A(x) dx- J An{x) dx < j |r„(«)| dx <
а
P
< J pn dx = Pn{? — o) —> 0 при n —y OC1
а
n OO
т.е. (B — E ^fc) О ПРИ п->оои B= JZ bk. Теорема 1 доказана.
Jle = I Jfc = I
Полученный результат позволяет весьма просто доказать первое правило почленного дифференцирования ряда.
Теорема2. Ряд Xua"(x) можно почленно дифференцировать, если:
1) он сходится в некоторой точке Xq отрезка I = [а, /?];
2) производные всех его слагаемых а„(я) существуют и непрерывны на /;
3) ряд ? «„(*), составленный из этих производных, равномерно сходится на отрезке I.
Точнее, имеем:
V EJ=I «*(*) = M') =**{'); 2) л>{ж) = ?:<(')¦.
Доказательство. Условия данной теоремы позволяют применить теорему 1 для почленного интегрирования ряда EanM на отрезке с концами го и t при любом t Є [ос, ?]. При этом с помощью формулы Ньютона - Лейбница получим
t t A(t) - A(X0) = B(t) = JA'(x)dx = JYlaMdx =
So
Го
= ? /' ""Wdl = ?К(0 - °»Ы) = f>„(<)-
n=ln=l n=l
403 Это равенство означает, что A'(t) = B'(t) = ^ajj(f). Осталось показать, что ряд сходится равномерно на 1. Имеем
* ' оо
?n(t) = [ V1n(X) dx= f ? =
І Io k^x
оо со ' n
= Y МО-«*(*<>)) = Y МО. М0 = я(0-?М0-
A?=n+1 A = I
Ho г«(ж)=?0 при n —У оо, поэтому существует последовательность рп і
с условием рп —> О и < рп при всех достаточно больших п > пд
и всех X Є I. Следовательно,
t t \?n(t)\< j \r'n(x)\dx< J Pndx -Pnit-X0) <рп(а-?).
Xq XQ
Это значит, что ?n(x)^40 при п —У оо, т.е. ряд Yi^n(t) сходится
равномерно на Ii а вместе с ним и ряд тоже равномерно
сходится, так как
A(t) = Yan^ = E МО + Eotn^0)'
где ^а(^о) — сходящийся числовой ряд. Теорема 2 доказана. Теорема 3. Пусть:
1) ряд Yl ап(х) сходится в некоторой точке хо E / = [а, /?];
2) ряд Yl ап{х) равномерно сходится на I.
Тогда ряд Yl ап тоже равномерно сходится на /, причем его сумма А(х) имеет производную A1 (х), равную сумме ряда Y Ki (х)-
Заметим прежде всего, что здесь нельзя воспользоваться формулой Ньютона - Лейбница, поскольку функции a'n(x) могут уже не интегрироваться по Риману и необходимо действовать по-иному.
Доказательство. Докажем сначала, что исходный ряд Van(ж) равномерно сходится на I. Для этого проверим выполнение для него критерия Коши. Точнее, мы будем рассматривать разность
E(Mz) - Qnfoo)) = Y]hn(x),
что допустимо, так как Yi an(x) — Y ^nix) + YL an(^o), где числовой ряд ?an(x0) сходится.
404 Применяя К отрезку ряда Y^n(x) формулу конечных приращений Лагранжа, при некотором t Є (хо,х) будем иметь
Ji _
г.+р
E м*)
п+р
J] (ак(х)~ак(хо))
к=п+1
п+р
E о*-яокоо
Но тогда по критерию Коши для любого є > 0 и при достаточно большом п > По и любом р Є N имеем
T < |х-х0|
п+р /с=п + 1
< Є\х - Xq\.
Поскольку є > 0 произвольно, это означает, что условие критерия Коши для ряда J2hn(x) тоже выполнено и он равномерно сходится вместе C рядом Лдп(х).
Теперь необходимо показать, что его сумму А(х) можно дифференцировать, причем производная суммы равна сумме производных во всякой точке Xi отрезка I = [а,/?]. Для этого рассмотрим отношение
АЛ(х) _ A(X)-A(X1) _ ДАп(х) Агп(х) _
Ti — Un т Itfl 1
Ax
X-Xi
Ax
Ax
где п Є N произвольно.
Снова применяя формулу конечных приращений, для величины Rn получаем оценку
I Rnl
< sup P
»n(x) - rn(Xl)
X-Xi
n+P
= lim ИГ
р-too I —^
, aA(x) - ak(xi)
]fc=n+l
Xl
<
ЕП+Р ak(x) - ак(хi)
¦ --\ < sup
