Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Докажем следующий изящный критерий равномерной сходимости синус-ряда (см. [36],[37]).
Теорема4 (Критерий Чоунди - Джолиффе равномерной сходимости тригонометрического синус-ряда). Пусть Ьп — положительная, монотонно убывающая последовательность. Тогда для равномерной
оо
сходимости ряда JI ^n sin пх на M необходимо и достаточно, чтобы
71=1
Iim nbn = 0.
п—юо
Доказательство. Необходимость. По критерию Коши имеем, что для любого є > 0 найдется по = по(?) такое> что ПРИ всех Vn > по, всех п > по и всех X Є [0,тг] справедливо неравенство
п
Y bks'mkx < є. Возьмем rn = [n/2] и х = тг/(4п). Тогда при
k=m+l
т + 1 < k < п получим sin fcx > sinTr/4 = >/2/2. Следовательно,
п
E Ьк sin kx > (n - т)6„л/2/2 > nbnV2/4.
fc=m + l
Таким образом, для любого є > 0 нашлось число по = по(є) такое, что при всех n > по выполняется неравенство )n&„| < Ae/у/2, т. е. Iim Tibn = 0. Необходимость доказана.
п-юо
Достаточность. Так как для любого натурального числа п функции' sinnx — периодические с периодом 2тг и нечетные, то достаточно доказать равномерную сходимость рассматриваемого ряда только на отрезке [0,7г]. Из условия теоремы имеем, что для любого е > 0 найдется по = по(е) такое, что при всех п > по справедливо неравенство |n6nj < є Возьмем любое п > по и любое р > 1 и оценим сумму
п+р
У" bk sin kx
S =
fc=n + l
^ Si -f" ?21
где
.Si =
[тг fx)
У^ bk sin kx
k=n +1
S2 =
п+р
У^ bk sin kx
k=[n/x]
399 При к < ж fx имеем sin t < t, поэтому
< E ***<
Є7Г.
fc=m+l
Для оценки суммы ?2 применим преобразование Абеля. Получим
?2 < *[*/*]+! max
n+q
E
k=[n/s]
sin кх
<
є-
[it fx] + 1 X
7Г
- <e,
поскольку функция sin t/t монотонно убывает при О < t < тг/2 и
Yi sin кх
кф/х]
cos (п + q — l/2)x — cos ([7гfx] -f \/2)х
2 sin ж/2
~~ sm ж/2 — X
Следовательно, E < ?(тг+1). Таким образом, для любого є > 0 нашлось число no = «о(^) такое, что для всех п > по, для всех р > 1 и для любого X Є Ш выполняется неравенство E < є(ж + 1), что в силу критерия Коши равномерной сходимости ряда означает равномерную
oo
сходимость Yi К sin пх. Теорема 4 доказана полностью.
п = 1
Отметим, что интересные обобщения этой теоремы даны Г. X. Харди [37]. Лекция 22
§ 5. ТЕОРЕМА ДИНИ
Докажем теорему Дини, которая важна для прояснения сущности понятия равномерной сходимости.
Теоремаї (признак Дини). Пусть последовательность неотрицательных функций pn(x), непрерывных на отрезке I = [а, 6], сходится поточечно к нулю на этом отрезке, причем рп(х) > Pn+l(x) при всех X Є I и при всех nG N. Тогда эта сходимость равномерная на отрезке I, т.е. рп(х)=Ф0 при п —> оо.
Доказательство. Ввиду поточечной сходимости последовательности рп(х) к нулю для всякого є > 0 и для каждой точки X Є / можно указать номер n = п(е,х) такой, что рп(х) < є/2. Но так как рп(х) непрерывна, то у точки х найдется некоторая 5-окрестность, где S = <$(?) > 0, для всех точек у которой имеем Pn (у) < Є. Совокупность всех таких окрестностей полностью покрывает отрезок /,ив силу того, что он является компактом, из этого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие 0(6\, xi),..., 0(6k, хк). По построению каждому из чисел Xi,..., Xjc соответствуют свои номера и функпия Pn1 (у),. •-,PnfcW такие, что 0 < Pnt {у) < Є при всех у € 0(?,,х,). Положим n0 = таХ1<,<*п,. Тогда имеем 0 < рПо{у) < < Pn. (у) < є При любом у є O(SnliXnl) и S = 1,..., Ar. Поскольку каждая точка у из отрезка / входит в некоторую такую окрестность, в каждой из них выполняется неравенство 0 < рПо(у) < Но тогда для всех п > «о = по (є) и одновременно для всех у Є I имеем
|PnW|<?,
т.е. р„(х)=фО при п —> оо. Теорема 1 доказана.
Если в теореме 1 в качестве рп(х) рассматривать последовательность остатков г„(х) функционального ряда Xuan(x) с условием an(x) > Q, то вместе с доказанной ранее теоремой о сохранении непрерывности суммы ряда при его равномерной сходимости мы получим следующий критерий.
Теорема2. Для того чтобы сумма ряда, составленного из непрерывных и неотрицательных функций на отрезке I = [а, Ь], была также непрерывна на /, необходимо и достаточно, чтобы ряд сходился равномерно на этом отрезке.
Замечание. Для справедливости утверждения теоремы 1 существенно, что отрезок I является компактом. Если, например, в ее условии отрезок / заменить интервалом, то она уже не будет верной. Это
401 подтверждает разобранный ранее пример ряда который
не является равномерно сходящимся на интервале (0,2).
§ 6. ПОЧЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ РЯДА
Наша дальнейшая цель состоит в нахождении условий, обеспечивающих возможность почленного дифференцирования и интегрирования функциональных рядов. Понятие равномерной сходимости ряда и здесь играет главную роль.
Обратим внимание на то, что теорема о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда означает, что
Л(х0) = Hm Л(х) = lim ( lim Ап(х)) — lim У^ап(х) =
X--+Xо Г-+ІО П-tOO Г-ФХо ^
= = lim Лп(х0) = Hm ( lim Лп(х)}.
