Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Архипов Г.И. -> "Лекции по математическому анализу" -> 115

Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.

Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу — M.: Высш. шк., 1999. — 695 c.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка): lexiipomatematanalizu1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 109 110 111 112 113 114 < 115 > 116 117 118 119 120 121 .. 201 >> Следующая


3) Пусть существует D. Тогда для любого Amjn можно найти

ко

номер такой, что сумма Dk0 Idk содержит все слагаемые ctk,i,

к-1

входящие в сумму Лт,п- Но тогда при всех т,тг имеем Amn < < Dk0 < D. Следовательно, существует А = SupjAmjn и А < D, что и

т,п

требовалось доказать. Теорема 4 доказана полностью.

Теорема5. Утверждение теоремы 4 останется в силе, если условие amn > 0 опустить, а сходимость рядов рассматривать как абсолютную.

Доказательство. Числа amj„ представим в виде am,n = Рт,п Ят,пі

„ jgm,nl + am>rt п |Дт,п 1 ~ gm,n ^ п Рт,п - -2- - Ят,п - -2- _ U-

Далее достаточно применить теорему 4 к рядам с общими членами Рт,п и qm>n и рассмотреть их разность. Теорема 5 доказана.

Теоремаб. Любая перестановка членов двойного абсолютно сходящегося ряда не нарушает его сходимости и не изменяет его суммы.

Доказательство. Пусть Yl Yl bm,n — перестановка двойного абсолютно сходящегося ряда Yl !С am,n = А. Рассмотрим

OO

соответствующие рядам Yl YlYlYl ,п однократные ряды Yl ^k

k-1

OO

и Yl ^fc из теоремы 4. Тогда ряд Yl^k = А абсолютно сходится, к-1

а ряд Yl d'k является некоторой его перестановкой. Но тогда он тоже абсолютно сходится, а вместе с ним абсолютно сходится и ряд

ЕЕ6тл, ПрИЧЄМ

А = HHamn = XX = XX = Л Ьт>п-

Теорема 6 доказана.

Теорема 7. В повторном абсолютно сходящемся ряде вида Ylm (X^n am,n) можно менять порядок суммирования. При этом ряд остается абсолютно сходящимся и его сумма не изменяется.

Доказательство. В силу теоремы 5 двойной Ряд Z^I^am.n также абсолютно сходится, а вместе с ним по той же

386 теореме абсолютно СХОДИТСЯ и ряд E ( E am,n )> причем суммы всех

n \m /

трех рядов совйадают. Теорема 7 доказана.

В заключение подчеркнем, что вообще свойство сохранять сумму при изменении порядка суммирования будет в дальнейшем представлять особый интерес. Теорема 7 дает первый пример возможности изменения последовательности выполнения предельных переходов. Глава XVI

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ

Лекция 8

§ 1. СХОДИМОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО РЯДА

Понятия функциональной последовательности и функционального ряда связаны между собой так же тесно, как и в обычном числовом случае. С этими понятиями мы, по существу, ранее уже встречались. Примерами могут служить бесконечная геометрическая прогрессия

Если в первом случае зафиксировать q, а во втором s, то мы получим обычные числовые ряды. Но эти же параметры можно рассматривать как аргументы числовых функций, и тогда суммы рядов тоже будут представлять собой некоторые числовые функции. Подобные соображения приводят нас к следующим определениям.

Определение 1. Функциональной последовательностью называется занумерованное множество функций {/п(ж)}, имеющих одну и ту же область определения D С M. При этом множество D называется областью определения функциональной последовательности {fn(x)}.

Здесь термин "занумеровать" означает "поставить во взаимно однозначное соответствие с натуральным рядом N".

Определение 2. Пусть {ап(®)} — некоторая функциональная последовательность (ф. п.) у определенная на множестве D. Формальная бесконечная сумма вида

п = 1

или просто E «п(я), называется функциональным рядом, определенным на D.

Фиксируя какое-либо значение х = Xq Є D, получаем обычный числовой ряд Еап(®о)- Как и в числовом случае, определим понятие частичной суммы функционального ряда.

OO

или дзета-функция Римана

при s > 1.

OO

388 Определение 3. При всех ті Є N функция An(х) = Oi(ж) + а2{х) +

п

¦ ¦¦ + an(x) = Y ак{х) называется (п-й) частичной суммой функци-

Jt=і

опального ряда и an(x) — его общим членом.

В дальнейшем пусть D обозначает область определения функционального ряда ^art(а?), т.е. последовательности (Лп(х)}.

Определение 4. Если при фиксированном х хо Є D сходится числовой ряд Yan(xо)? то говорят, что функциональный ряд XZan(aO сходится B точке X = Го-

Определение 5. Множество Do С Dt состоящее из тех точек Xq, в которых ряд Y an{х) (или последовательность Ап(х)) сходится, называется областью сходимости этого ряда (или этой последовательности).

Замечание. Область сходимости функционального ряда обычно бывает уже, чем область ее определения. Пример — бесконечная

OO

геометрическая прогрессия — Yl Яп•

Л = 1

Определение 6. Пусть Do — область сходимости функциональной последовательности {Ап(х)} и пусть А(х) есть предельное значение этой последовательности при фиксированном значении х ? Dq ¦ Тогда множество пар (х,А(х)) при всех х Є Do задает некоторую функцию у = А(х), определенную на всем множестве Dq. Эта функция называется предельной функцией функциональной последовательности {Ап(я)}. Если при этом An (х) — последовательность частичных сумм ряда то функция Л(х) называется суммой этого ряда. Итак,

сумма функционального ряда —это некоторая функция, определенная на его области сходимости. При х 6 А) остаток ряда гп(х)тоже представляет собой некоторую функцию от х, rn(x) = А(х) -An(х), причем Гп (х) —»• О при П —У OO И при любом X 6 Do.
Предыдущая << 1 .. 109 110 111 112 113 114 < 115 > 116 117 118 119 120 121 .. 201 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed