Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
3) Пусть существует D. Тогда для любого Amjn можно найти
ко
номер такой, что сумма Dk0 Idk содержит все слагаемые ctk,i,
к-1
входящие в сумму Лт,п- Но тогда при всех т,тг имеем Amn < < Dk0 < D. Следовательно, существует А = SupjAmjn и А < D, что и
т,п
требовалось доказать. Теорема 4 доказана полностью.
Теорема5. Утверждение теоремы 4 останется в силе, если условие amn > 0 опустить, а сходимость рядов рассматривать как абсолютную.
Доказательство. Числа amj„ представим в виде am,n = Рт,п Ят,пі
„ jgm,nl + am>rt п |Дт,п 1 ~ gm,n ^ п Рт,п - -2- - Ят,п - -2- _ U-
Далее достаточно применить теорему 4 к рядам с общими членами Рт,п и qm>n и рассмотреть их разность. Теорема 5 доказана.
Теоремаб. Любая перестановка членов двойного абсолютно сходящегося ряда не нарушает его сходимости и не изменяет его суммы.
Доказательство. Пусть Yl Yl bm,n — перестановка двойного абсолютно сходящегося ряда Yl !С am,n = А. Рассмотрим
OO
соответствующие рядам Yl YlYlYl ,п однократные ряды Yl ^k
k-1
OO
и Yl ^fc из теоремы 4. Тогда ряд Yl^k = А абсолютно сходится, к-1
а ряд Yl d'k является некоторой его перестановкой. Но тогда он тоже абсолютно сходится, а вместе с ним абсолютно сходится и ряд
ЕЕ6тл, ПрИЧЄМ
А = HHamn = XX = XX = Л Ьт>п-
Теорема 6 доказана.
Теорема 7. В повторном абсолютно сходящемся ряде вида Ylm (X^n am,n) можно менять порядок суммирования. При этом ряд остается абсолютно сходящимся и его сумма не изменяется.
Доказательство. В силу теоремы 5 двойной Ряд Z^I^am.n также абсолютно сходится, а вместе с ним по той же
386теореме абсолютно СХОДИТСЯ и ряд E ( E am,n )> причем суммы всех
n \m /
трех рядов совйадают. Теорема 7 доказана.
В заключение подчеркнем, что вообще свойство сохранять сумму при изменении порядка суммирования будет в дальнейшем представлять особый интерес. Теорема 7 дает первый пример возможности изменения последовательности выполнения предельных переходов.Глава XVI
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
Лекция 8
§ 1. СХОДИМОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО РЯДА
Понятия функциональной последовательности и функционального ряда связаны между собой так же тесно, как и в обычном числовом случае. С этими понятиями мы, по существу, ранее уже встречались. Примерами могут служить бесконечная геометрическая прогрессия
Если в первом случае зафиксировать q, а во втором s, то мы получим обычные числовые ряды. Но эти же параметры можно рассматривать как аргументы числовых функций, и тогда суммы рядов тоже будут представлять собой некоторые числовые функции. Подобные соображения приводят нас к следующим определениям.
Определение 1. Функциональной последовательностью называется занумерованное множество функций {/п(ж)}, имеющих одну и ту же область определения D С M. При этом множество D называется областью определения функциональной последовательности {fn(x)}.
Здесь термин "занумеровать" означает "поставить во взаимно однозначное соответствие с натуральным рядом N".
Определение 2. Пусть {ап(®)} — некоторая функциональная последовательность (ф. п.) у определенная на множестве D. Формальная бесконечная сумма вида
п = 1
или просто E «п(я), называется функциональным рядом, определенным на D.
Фиксируя какое-либо значение х = Xq Є D, получаем обычный числовой ряд Еап(®о)- Как и в числовом случае, определим понятие частичной суммы функционального ряда.
OO
или дзета-функция Римана
при s > 1.
OO
388Определение 3. При всех ті Є N функция An(х) = Oi(ж) + а2{х) +
п
¦ ¦¦ + an(x) = Y ак{х) называется (п-й) частичной суммой функци-
Jt=і
опального ряда и an(x) — его общим членом.
В дальнейшем пусть D обозначает область определения функционального ряда ^art(а?), т.е. последовательности (Лп(х)}.
Определение 4. Если при фиксированном х хо Є D сходится числовой ряд Yan(xо)? то говорят, что функциональный ряд XZan(aO сходится B точке X = Го-
Определение 5. Множество Do С Dt состоящее из тех точек Xq, в которых ряд Y an{х) (или последовательность Ап(х)) сходится, называется областью сходимости этого ряда (или этой последовательности).
Замечание. Область сходимости функционального ряда обычно бывает уже, чем область ее определения. Пример — бесконечная
OO
геометрическая прогрессия — Yl Яп•
Л = 1
Определение 6. Пусть Do — область сходимости функциональной последовательности {Ап(х)} и пусть А(х) есть предельное значение этой последовательности при фиксированном значении х ? Dq ¦ Тогда множество пар (х,А(х)) при всех х Є Do задает некоторую функцию у = А(х), определенную на всем множестве Dq. Эта функция называется предельной функцией функциональной последовательности {Ап(я)}. Если при этом An (х) — последовательность частичных сумм ряда то функция Л(х) называется суммой этого ряда. Итак,
сумма функционального ряда —это некоторая функция, определенная на его области сходимости. При х 6 А) остаток ряда гп(х)тоже представляет собой некоторую функцию от х, rn(x) = А(х) -An(х), причем Гп (х) —»• О при П —У OO И при любом X 6 Do.