Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
|/п(х)| = ianxn| = Ьпп |хГ = (6п Nf.
В случае 1) общий член /п(х) не стремится к нулю и потому ряд расходится. В случае 2) при фиксированном }х| < 1/1 и любом п > по, применяя признак сходимости Коши в предельной форме к ряду ?|/п(х)1, имеем
ИЙГ|/п(х)|1/п = х~ПпГбп < 1/1 = 1.
П—> OO п—юо
Это значит, что все х < 1/7 принадлежат области сходимости ряда. Если же |х| > 1//, то легко видеть, что общий член ряда, как и в случае 1), не стремится к нулю и ряд тоже расходится.
411 В случае 3) снова согласно признаку Коши при всех х имеем ~1йГ|/п(х)|1/п = МТшГЬ, = 0 < 1,
n-юо п-юо
т.е. ряд сходится. Теорема 1 доказана.
Замечание. Если |х| = Я, то ряд Yfn(x) в Доказанной теореме может и сходиться и расходиться. Примером служит ряд
OO п .
Xn . 1
= In
П 1-Х
п — 1
для которого R = 1 и при х = имеет место сходимость, а при х=1 — расходимость.
Теорема2. Пусть R > О — радиус сходимости степенного ряда Ea^3Cn и г — произвольное число с условием О < г < R. Тогда на отрезке [—г, г] этот ряд сходится абсолютно и равномерно, а его сумма Л(х) непрерывна на нем.
Доказательство. Точка r\ = (R + г)/2 < R принадлежит области сходимости ряда, поэтому при х = г і его общий член a„r" ограничен, т.е. |a„|r" < с при некотором с > 0 и всех п. В силу того, что г < i*i, имеем
п=0 п=0 4 ' п=0 4 ' '
Но тогда сходящийся ряд Y lan| г2 < 00 будет мажорантой для Y an%n на отрезке [—г, г]. Следовательно, на этом отрезке ряд сходится абсолютно и равномерно.
При тех же условиях сумма А(х) ряда ?апхп является непрерывной функцией на отрезке [—г, г], поскольку он сходится там равномерно и его члены непрерывны. Теорема 2 доказана.
Теорема 3. Есля R > 0 — радиус сходимости степенного ряда Y anXn, то на любом отрезке [—г, г] С [— Я, R] этот ряд можно почленно дифференцировать и интегрировать на интервале сходимости.
Доказательство. Формальное почленное дифференцирова-
OC OO
ние степенного ряда Y an®n Дает ряд х"1 Y ^anXn = х-1 ^nXn,
п-о п=1
оо оо п
а интегрирование его приводит к ряду х Y cnx" = х Y ^ffT- ^jisi
п=0 п=0
величин |6„|1/п и IcnI1^n в теореме Коши - Адамара имеем равенства IfrnI1/" = n1/n |an|1/ft , |cn|1/n = (n + l)-1/n |an|1/n .
— 1 /n
Ho так как (n + 1)" —1 при n —» оо, то по этой теореме радиусы сходимости всех трех рядов равны и ряды сходятся равномерно на любом отрезке вида [—г, г], г < Я. Но тогда их можно почленно дифференцировать и интегрировать на этом интервале сходимости. Теорема 3 доказана.
412 Теорема4 (теорема Абеля). Пусть ряд Yla^xn сходится в точке X = с > 0. Тогда его сумма А{х) непрерывна на отрезке I — [0, с]. Если же число с < 0, то функция А(х) непрерывна на отрезке [с, 0].
Д о к a з a тел ь cm во. Рассмотрим сначала случай с > 0. Представим общий член anxn этого ряда в виде
anxn = an{x)?n(x),
где Oin(х) = апс" и ?n{x) = xn/с". Тогда к этому ряду на отрезке I — [0, с] можно применить признак равномерной сходимости Абеля, так как:
1) ряд ^anCn не зависит от х и поэтому сходится равномерно на отрезке /;
2) последовательность ?n(x) = xn/cn монотонна и равномерно ограничена на /, так как \xn/cn\ < 1 при всех х Є I.
Но тогда сумма А(х) этого ряда непрерывна на /. Случай с < 0 сводится к рассмотренному заменой у=—х. Теорема 4 доказана.
Теоремаб (выражение коэффициентов степенного ряда через значения производных его суммы в точке разложения). Пусть
оо.
степенной ряд Y an(z — яo)n = А(х) имеет положительный радиус
п= О
сходимости R. Тогда ао — А(хо) и при всех n > 1 имеем равенства
an = AW (X0)/пі'
До к a за m е л ь cm в о. По теореме 3 равенство
-OO
А{х) = Y ап(х — хо)п можно почленно дифференцировать. Поэтому
п=0
при X = Xo имеем
оо
U 1 1
А (х0) = 2^ an(x0 - X0Jn = ао,
п=0
оо
А! (хо) — ап ¦ п(хо - xo)n~l = aI • iM
П = 1
оо
А" (х0) = J2an' n(n - - x0)n_2 = а2 - 2!,
n = 2
OO
AW (хо) = E a« • n(" - 0 • • • • • {" ~ k + - «o)ft_fc = «fc • kl
n=k
Отсюда и следует требуемое утверждение. Теорема 5 доказана.
413 Таким образом, степенной ряд Х]ап(х —хо)" с ненулевым радиусом сходимости всегда является разложением в точке х — хо в ряд Тейлора своей суммы А(х), Представляет интерес вопрос о том, как связаны между собой , радиусы сходимости двух тейлоровских разложений функции А(х), взятые в различных точках хо и X1. Здесь имеет место, например, следующая теорема.
Теорема 6. Пусть Rq > О — радиус сходимости степенного ряда ]Pan(x — хо)п. Рассмотрим другое разложение функции А(х) в ряд Тейлора в точке xi, где jx0 — X1j = г < Яо- Тогда, если 60) Ь\,... — его коэффициенты, a Ri — радиус СХОДИМОСТИ, TO R\ ^ Rq — ти
OO
А{х) ~ 12 Mar - arOfc* если |х Xij <С Ri.
Je=O
Доказательство. Будем для простоты считать, что хо = О, и положим x — xi = У- Тогда х — Xo = х = у + Xi, Jx1 [ = Jxi — «оі = Если jyj < Rq — г, то |у| -j- |xi| < Ro — г + г = Ro. Поэтому ряд
ClO
Yl 1ап| (ІУІ + I^i |)" сходится абсолютно. Но тогда повторный ряд
п=0
оо /п\
