Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Достаточность. Заметим сначала, что если Tn1 < гг»2, пі < п2, то Pmitni < Рт2,п2• Далее из ограниченности частичных сумм Prriiп следует, что существует число M такое, что
382 M = SUpPmin. Тогда ііри любом є > 0 число M — є уже не является
П»,П і
верхней гранью для {Pm,n}, поэтому найдутся т0(є) и по(е) такие, что M — є < Pm0tn0 < М. Но в этом случае при всех т > то и п > п0 имеем
M - є < Pm0tn0 < Рт>п < Mi
откуда \Рт,п ~М\ <є. Это значит, что Pnv, M при т -у оо, п -у оо,
Т.е. Em En Pm.a =M.
Необходимость, Заметим, что ограниченность последовательности Pm,n в случае ее сходимости есть следствие соответствующего общего свойства функции, имеющей предел по базе. Теорема 2 доказана.
Определение 5. Двойной ряд Em En ат,п называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд EmEnlam,n|> составленный из модулей его членов.
ТеоремаЗ. Двойной абсолютно сходящийся ряд E E am,n сходится.
Доказательство. Положим
— Iflm)"I + _ lam,n| - Дт,п
Pmji — 2 * Ят,п — 2
Тогда имеем |ат|П | = рт>п + gm,n и
Рт,п Qm,n л \ л
«т,п = -2~-, PmlTi > qm>n > U. •
Поскольку ряд Em En 1ат,п| сходится, найдется ЧИСЛО С > О С условием
m п
Vn = EEiaMi < с fc=i/=і
при всех тип. Но для частичных сумм Pm,п и Qm>n справедливы
неравенства Pm,n < Amn,Qm,n < Дп,п» поэтому по теореме 2 ряды
eepm.n и e 12ят,п сходятся. Следовательно, ряд eeam,n, равный их разности, тоже сходится. Теорема 3 доказана.
OO OO
Бесконечная сумма вида E E am,n позволяет рассматривать и
т=1 п—1
иную важную конструкцию использования предельного перехода, которая приводит к понятию повторного ряда.
Определение 6. Пусть {amn} — двойная последовательность.
OO
Зафиксируем параметр m и рассмотрим формальный ряд E am,n-
п = 1
Обозначим его символом brn. Тогда формальная бесконечная сумма
OO OO / OO
E6-=E ( E
m=l TTi=I \n — 1
383 называется повторным рядом.
Очевидно, с одной и той же двойной последовательностью am>n можно связать еще один двойной ряд, а именно,
оо оо / оо
Ea = E E^b
П = 1 П = 1 \Ш = 1
OO
гдє ?n =z Y m=l
Заметим, что если здесь опустить скобки, то, вообще говоря,
OO OO
выражение Y !С am,n можно рассматривать и как двойной ряд, и
т=1 п = 1
как повторный ряд, и это может приводить к недоразумениям. Там, где эти недоразумения возможны, необходимо ставить скобки или специально оговаривать точный смысл выражения.
Введем поняягие сходимости повторного ряда и рассмотрим связи между сходимостью двойного и повторного рядов.
OO
Определение 7. Если при любом m ряд Y am,n сходится к
171= 1
OO
сумме bm И ряд Y ^m тоже сходится к некоторому числу А, то
т = 1
OO / OO \
повторный ряд Y ( S am,n ) называют сходящимся к сумме А и
m= 1 \fi— 1 /
записывают в виде
™ / ~ \ L Lvn =А
msl \п = 1 /
Определение 8. Пусть (m(k),n(k)) — некоторая линейная нумера-
OO
ция совокупности всех пар (rn, п). Тогда обычный числовой ряд Y ^k,
к=\
где dk = am(k)tn(k)-l называется линейной перестановкой двойного
OO OO
ряда Y X] am,n, отвечающей данной нумерации его членов.
m=l п = 1
Теорема 4. Пусть amn >0 для всех пар (m, n) и пусть ряд Yc^k — некоторая его линейная перестановка. Тогда если сходится хотя бы один из трех рядов
оо оо оо / оо \ оо
X E (Sa"1'") я Yldk'
т=1 п = 1 тп = 1 Vn = I / Jt = I
то два других тоже сходятся к той же сумме.
Доказательство. Обозначим через А, В и D сумму каждого из рассматриваемых рядов. Требуется доказать, что если
384 существует хотя бы одно из этих трех чисел, то существуют и два других и все они равны между собой. Для этого достаточно доказать три утверждения: 1) если существует сумма А, то существует сумма В и В < А; 2) если существует сумм& Bi то существует сумма D и D < В\ 3) если существует сумма D, то существует сумма А и А < D. Рассмотрим их по порядку.
1) Существование числа А означает сходимость частичных сумм
OO OO
Am^n ряда JZ Yl а™>п к его сУмме А при т —? оо,п —У оо. Ранее
т=1 п=1
было доказано, что в этом случае А = supAm>n> откуда Ат>п < А
т,п
при всех натуральных т, п. Очевидно, что при этом справедливы неравенства
п т п
Ьт(п) - йгп>1 - = Лт'п - А-
I=1 A-I J=I
Следовательно, при любом щ существуют числа
OO
6m = sup6m(n) =
a = 1 v
Далее, так как
m т п
Yl 6*(n) = J2 Yl ак>1 = - Л'
a = 1 a=i i=i
то, устремляя п —> оо, при любом m имеем
т
А > Yb* = Brn.
a=1
Но Bm не убывает, поэтому при т —> оо последовательность 0т сходится к некоторому числу В, причем В < А. Утверждение 1 доказано.
2) Пусть В существует. Тогда для любой частичной суммы Dk =
А
JZ^a найдется пара чисел (то, «о) с условием, что m(r) < m0 и
г=1
п(г) < по при всех г < Ar. Но тогда все слагаемые dr одновременно будут входить и в суммы Amo]По, причем
ГТ»о nO DIq OO ГПо
Amo.no a*-< = Ylbk=Bmo<S-
a=if=i a = u=i a = i
13 Лекции по математическому анализу 385 Другими словами, все частичные суммы Dk ограничены сверху числом В и поэтому при некотором D имеем Dk D < В при к —> оо. Утверждение 2 доказано.
