Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Тогда при к < п0 справедлива оценка
\Ак{х)\ <В<В + 1 = C,
а при к > по имеем
\Ак(х)j < |Л(х) - (А(х) - < И*)| + \А(х) - Ак(х)\<
<Bq + \<B+1 = C.
Таким образом, утверждение 1 доказано полностью. Попутно доказано еще одно утверждение.
392 Утверждение 2. Если функция А (яг) является ограниченной на
множестве M и Ап(х)=}А(х), то при некотором По Є К функцио-
M
нальная последовательность Bn(x) = ЛПо+п(х) равномерно ограничена на М.
Следующие два утверждения приведем без доказательства, поскольку они доказываются точно так же, как и в аналогичных случаях для числовых рядов.
Утверждение 3. Пусть при п —>• ос имеем
an{x)=$a(x), bn(x)=$b(x). M M
Тогда:
l°.an(x) + bn(x)=*a{x) + b{x); м
2°. если |?>(х)| < С при некотором С > 0 и всех х Є My то
an(x)-bn(x)=4a(x)-Ь(х); M
если только 1/|6(®)| > С > 0 при всехх Є М.
Утверждение 4. Если последовательность dn (х) является равномерно ограниченной и гп{х)=$ 0 при п —У оо, то d„(x)r„(x) 0 при
M M
П оо. Лекция 22
§ 3. КРИТЕРИЙ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Докажем теперь критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности.
Теоремаї (критерий Коши). Для того чтобы функциональная последовательность An(х) равномерно сходилась на множестве М, необходимо и достаточно, чтобы для любого є > О существовал номер по = по (є) такой, что при всех m > по и п > по и всех х Є M имело бы место неравенство \An(x) — Лт(ж)| < е.
Доказательств о. Необходимость. В этом случае
Ап(х) =4А(х). Таким образом, для любого є > 0 существует число M
по = ио(г) такое, что для всех п > H0 и для всех X Є M имеем jj4n(x) - А(ат)! < є/2. Но тогда при m > п0 и п > По имеем
jAm(X) - An(x)I < jAm(X) - А(х)\ + \А(х) - Ап(х)\ < є/2 + є/2 = є,
что и требовалось доказать.
Достаточность. При каждом фиксированном х Є M функциональная последовательность Ап(х) превращается в числовую и для нее выполняется критерий Коши. Это значит, что она имеет предел А(х), т.е. предельная функция существует на всем множестве M. Далее, каково бы ни было число є > 0, по условию найдется номер пі = ті\(є/2) такой, что при всех т и п > п\ имеем jAn(x) — Ат(х)\ < є/2.
Снова произвольно зафиксируем х Є M и устремим т к бесконечности. Получим неравенство
\Ап(х)-А(х)\ < є/2 < є.
Но тогда, полагая но — по(е) = пі(є/2), при всех п > по и всех ібМ будем иметь
т.е. An(x) =^А(х). Теорема 1 доказана. м
Если Лп(я) — последовательность частичных сумм функционального ряда Еап(я), то теорема 1 дает нам критерий Коши равномерной сходимости этого ряДа. Сформулируем его в виде следующей теоремы.
394 Теорема 2. Для равномерной сходимости ряда ?ап(х) на множестве M необходимо и достаточно, чтобы для любого є > О существовало «о = по{е) такое, что для каждого п > по, и для каждого р € N и для всех X Є M выполнялось бы неравенство
п+р
Yl ak^
k=n + l
< є.
И наконец, исходя из теоремы 2 сформулируем в прямой форме критерий отсутствия равномерной сходимости ряда
Теорема 3. Утверждение о том, что ряд Еап(ж) яля последовательность An (х) не являются равномерно сходящимися на множестве M, означает, что существует є > 0 такое, что найдутся две последовательности {nm} и {рт} Є причем nm+i > nm, а также последовательность {хт} 6 М, для которых имеет место неравенство
"т+Рт
fc=nm+l
> Є.
Примеры неравномерно сходящихся рядов и последовательностей.
OO
1. Ряд А(х) = E я)" сходится неравномерно на [0,2).
п=0
Действительно, сумма ряда А{х) при х ф 0 равна
OO .
n=0 v '
и Л(0) = 0. Это значит, что х = 0 — точка разрыва функции А(х). Но если бы сходимость была равномерной, то функция А(х) была бы непрерывной в силу теоремы 1 § 2, поскольку an(x) = х(1 — х)п непрерывна в нуле. Но это не так. Следовательно, равномерной сходимости нет.
2. Если An (х) = хп, то на множестве M = (0,1) равномерная сходимость не имеет места.
Действительно, в теореме 3 положим є = 0,1 и при каждом m > 1 возьмем nm = т, Xm = 1 — 1 /m, рт = т. Тогда будем иметь
Hm(Xm) - A7m(Xrn) I =
(1 m) 0 т)
2т
-И)Н-Ш>И—
Таким образом, по критерию Коши в форме теоремы 3 последовательность Ап(х) не является равномерно сходящейся.
395 Задача. Пусть функции fn{x) непрерывны на [О, 1] при всех п Є N и /п(ж) /о(-е) при п оо. Доказать, что fo{x) имеет точку непрерывности на (0, 1).
§ 4. ПРИЗНАКИ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ
Докажем три признака равномерной сходимости функционального ряда, принадлежащие Вейерштрассу, Абелю и Дирихле. Эти признаки дают достаточные условия для равномерной сходимости, но они не являются необходимыми, т.е. ряд tin (^) может сходиться равномерно, но не удовлетворять любому из них. Впрочем, та же ситуация имела место и для сходимости обычных числовых рядов. С другой стороны, отметим, что они соответствуют признакам сходимости числовых рядов того же названия и развивают заложенные в них принципы.
Рассмотрим сначала следующий критерий равномерной сходимости для бесконечно малой функциональной последовательности.
