Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
м=1
п
Доказательство. Имеем In Пп = Л In Ьк. Функция у = In х
к-1
устанавливает непрерывное взаимно однозначное соответствие между
416 лучом (0,+оо) и всей вещественной осью Ж = (—00,+00). Поэтому в силу положительности Ьп для всех п Є N возможен переход к пределу в одной части равенства при сходимости другой его части, и при этом 1пП = EfcLi Jn bk- Сходимость к нулю левой части равенства эквивалентна сходимости к —оо правой его части. Утверждение доказано.
Замечание. Очевидно, что отбрасывание или добавление любого конечного числа ненулевых сомножителей не влияет на сходимость бесконечного произведения. Поэтому можно считать, что конечное число членов этого произведения могут быть и отрицательными.
OO
Определение 4. Бесконечное произведение ]~{ называется аб-
k=i
солютно сходящимся, если абсолютно сходится ряд E In Это означает сходимость ряда E Un ^nl- Сходящееся бесконечное произ-
OO
ведение П яе являющееся абсолютно сходящимся, называется
П = 1
условно СХОДЯЩИМСЯ.
Из предыдущего утверждения и теоремы о сходимости абсолютно сходящегося ряда непосредственно вытекает следующая теорема.
Теоремаї. Абсолютно сходящееся произведение всегда сходится в обычном смысле.
Поскольку мы считаем, что 6n > О при всех п, числа Ьп обычно представляют в виде Ьп = 1 + an, где вп > 1. Тогда имеем
OO OO
П^Ш1+"»)
П=1 П=1
Теорема2 (критерий абсолютной сходимости бесконеч-
OO
ного произведения). Бесконечное произведение П (1 + а„) абсолютно сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд E Iа« I-
Доказательство. Так как 1 + а„ —у 1 при п —> оо, то ап —»> 0. Однако
Іп(1 + х)
x
поэтому при n -f оо имеем
—> 1 при я: —>¦ Ot
Ь(1 +an) t1 ІМ1+МІ
* її * an Iflnl
Следовательно, при достаточно большом n > по выполнены неравенства
1 JlnM 3
2 |ап| ^ 2'
14 Лекции по математическому анализу
417 Если, например, сходится ряд ]Г] 11п{1+а„)|, то он будет мажорантой для ряда ?|aJ/2, а если сходится ряд EiaJj то он является мажорантой для ряда 2) ln(l + an)j/3. Но это означает, что ряды EIaJ и EIlnO +а")1 сходятся и расходятся одновременно.
Теорема 2 доказана.
Следствием этой теоремы является следующее утверждение.
Утверждение 3. Если при достаточно большом п > по все числа an имеют один и тот же знак, то сходимость произведения J^ (1 -Han) эквивалентна сходимости ряда E a« •
Доказательство. Поскольку и сходимость ряда, и сходимость произведения влечет за собой соотношения
an0, ln(l -f an) —> О, M1 + °n) ^ ^ при n ^ Q0
an
отсюда следует, что при достаточно большом п > п0 величина ln(l+a„) сохраняет знак вместе с ап. Это означает, что сходимость рядов Y2ani ElnO + an) и произведения П(1 + ап) эквивалентна их абсолютной сходимости. Теперь, применяя теорему 2, получаем требуемое утверждение.
Рассмотрим некоторые примеры бесконечных произведений.
Пример 1. Гамма-функция Эйлера Г(в). По определению имеем
і 00 і п.) = ^ ПО+ :)"•"".
п = 1
где s^0, — l,—2,... — любое вещественное число (или даже комплексное число, если определение 3 распространить на комплексные числа), 7 — постоянная Эйлера,
7-= lim (1 + I +----h--Inn) = 0,577... .
пчоо 2 П
Бесконечное произведение, через которое определяется гамма-функция Эйлера, сходится абсолютно при любом s ф 0, — 1, — 2,..., так как при достаточно большом п > щ в силу формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа справедлива оценка
InfcJ =
и сходящийся ряд Ylt S2In2 является мажорантой для ряда EMntJ.
418 Утверждение 4 (формула Эйлера). Имеет место следующая формула:
OO
ГМ = ^По+ !/»)'(!+ */п)-1-
п = 1
Доказательство. Уже доказано, что бесконечное произведение в определении гамма-функции сходится абсолютно в любой точке своей области определения. Поэтому из определения гамма-функции имеем
w -і
T(s) = s'1 lim e-'(l+l/2+-+l/m-Inm) lim TT Л + ?Л
m-+oo m-+oo V n J
n = l
m m-1 / . \ j m
lim m'TTfl + 1)" =»_1 Hm TT (1 + 1) 11(1 + 1)" =
m-+oo 11 \ n / ш-юо J-X \ л j XX V л/
n = l n=l 4 n=l
<n=l 4 ' Z4'
n—1 x
что и требовалось доказать.
Утверждение 5 (функциональное уравнение для гамма-функции Эйлера T(s)). Справедлива следующая формула:
Г(*+1)=«Г(«), Г(1) = 1.
Доказательство. По формуле Эйлера имеем, что Г(1) — 1, а также
Г(«+1)_ в TT О + 1 + в/"
Г(в) 8+lJIi (1 + 1/")' 1 + (в+1)/п
оо
п + 1 п + S
S -рт Ti -f I
« + 1 Ai n n4.s+l г> = 1
2-3...(m + l) (1 + «)...(т + в)
- __ Iim TT * ' ° • • -Vm L> и "г g; ¦ • • Vm т aj
s 4" 1 т—»oo AA 1-2 ...т (2 + s). .Jm+ 1 + в)
Tl — 1 ' у '
s т + 1
Iim (s + 1)---= s.
s -I- 1 тп-юо т + 1 + s
Отсюда следует, что Г(в -I- 1) = вГ(«). Утверждение доказано. Из утверждения 5 непосредственно получаем такое следствие.
419 Следствие. Для натуральных чисел п имеем Г(п+ 1) — п!.
Далее будет доказано, что при s > 0 имеет место формула интегрального представления для T(s) вида
Г (s) =
OO
J xs~lerxdx.
Пример 2. При всех вещественных X следующее бесконечное произведение сходится:
