Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Естественно, что при определенных ограничениях утверждение предыдущей теоремы допускает различные обобщения. Например, справедлива следующая теорема.
Теорема2 (теорема Мертенса). Пусть ряд Y ап абсолютно сходится к сумме А и ряд Ylbn условно сходится к сумме В. Тогда
OO
формальное произведение Y ^n этих рядов сходится к сумме AB.
Tl=I
378 Доказательство, Пусть Hn — последовательность частичных сумм ряда Yl^n- Имеем
n n т n n—k + 1
Hn ~ hm = 1=
т=1 т—1 Jt=I Jt=I I=1
Обозначим / = m — & + 1. Очевидно, имеем 1 < к < т < п, откуда получим 1<т—&+1=/<п — Л+1. Следовательно,
п n—Jt+1 п
Hn-Ylaft Yl bi = YlakBn-it+ь
A=I f=l A=I
Здесь — соответствующая частичная сумма ряда Yl ^n-
Поскольку ряд сходится к сумме В, разность ?i '= B-Bi
OO
является его остатком /? = ]Г] 6„, который стремится к нулю с
п=г+і
ростом Поэтому, обозначив через An и а„ остаток и частичную сумму ряда Yl ап, будем иметь
п п
Hn - Yl йкВп-к+1 — ак{В — ?n-k+l) =
к =zl Jt=I
n OO п
fc=l n=l Jt=I
Осталось показать, что если Rn = AB — Яп, то Rn —> О при п оо. Но Qrrt —^ 0, поэтому Rtn = апВ Q при п оо. Рассмотрим теперь
п
сумму Rn= Yl Qk?n-k+l-
П = 1
п
KI<5>*M&-*+il =
П = 1
Ei Z/2
/ -^4 у "' 1 Ч
= Y, |а*| • ІДг-jt+il+ Yl =
к<п/2 п/2<к<п
Так как ?k —>¦ 0, то при некотором с > О для всех к имеем неравенство \?k\ < с, откуда
^2 < Y^ км/?п-*+іі< Yl ifl*ic<с Yl ы = сТ-
n/2<fc<n п/2<к<п п/2<к<п
379 Но ряд сходится, поэтому, согласно критерию Коши, при всяком
є > 0 и достаточно большом п > по(є) справедливо неравенство T < ?, откуда вытекает, что E2 < сє . С другой стороны, так как ?n —У 0, то при достаточно большом I = п — к + 1 > «і (є) имеем \?i \ < є. А это значит, что если п/2 > «і (є) и fc < n/2, то < є, откуда
E1= J2 \*k\-\?n-k+i\<€ ? Ы<еА\
к<п/2 к<п/2
OO
где А! — сумма сходящегося ряда ^ |а&|. Таким образом, при
к = 1
n > 2ni(e) + По(е) имеем
Rn <єА' + єс = є(А' + с).
В силу произвольности є > О это означает, что Rn —У О при п —У оо. Но тогда и Rn = Rn + Rn —у 0, откуда Hn AB. Теорема 2 доказана. Лекция 22
§ 8. ДВОЙНЫЕ И ПОВТОРНЫЕ РЯДЫ
Понятие произведения двух рядов можно рассматривать как пример более общего понятия двойных рядов, изучению которых посвящен этот параграф.
Определение 1. Числовая функция a(m, n) = От,п — атп ДВуХ натуральных аргументов тип называется двойной последовательностью.
Для таких последовательностей мы также будем использовать обозначение {amn}.
Определение 2. Двойным рядом
ОС OO
Z^ /L am>n =
m=l n = l m,ri
называется формальная бесконечная сумма S вида S — an + ai2 + аіз +----h a2i + a22 + а2з + • ¦ ¦ + азі + a32 + азз + . ...
Определение 3. Конечная двойная сумма
m п
Лт,п = E Ea*' - aH ^----------+----umn
k=1I=I
называется (прямоугольной) частичной суммой двойного ряда вида Y am,n ¦ Исходная последовательность am n называется общим членом ряда.
Далее нам необходимо дать определение сходимости двойного ряда как предела частичных сумм Amifl.
Определение 4. Число I называется пределом двойной последовательности {Bm n} (или двойным пределом), если для всякого є > О найдутся числа га0(е) и по(е) такие, что для всех пар (т, п) с условием т > т0(е) и п > По(с) выполнены неравенства
\Bm<n-l\<?.
Понятие предела двойной последовательности полностью согласуется с общим определением предела функции по базе В. В данном
У, a^ = X,a
m.n
381 случае база В представляет собой совокупность окончаний Ьт0іПа,
каждое из которых образовано множеством пар (т, п) натуральных
чисел т и п с условием т > mo,n > по- Предел A = IimAmn по
в
этой базе и есть указанный выше двойной предел. Для самой базы В будем использовать обозначение m —> оо, п -* оо. Также будем писать:
lim Am n - А.
ІЙЧОО
п—>оо
Для двойных пределов выполнены все свойства предела по базе множеств. Например, предел суммы равен сумме пределов, имеет место единственность предела. В частности, отсюда для сходящегося двойного ряда вытекает необходимый признак сходимости.
Утверждение 1 (необходимый признак сходимости двойного ряда). Если РЯД Yj &m,n СХОДИТСЯ, ТО Пт п —>¦ 0 При TTl —У OO, M —У ОС.
Доказательство. Имеем am,n — Amn — Атп_] — -Ат-ііП + Ат_1іП_і. Так как по условию Arriyn А, то
Iim ат n = A- A- A-HA = O, тчоо ' п —юо
что и требовалось доказать.
Исходя из общей формулировки критерия Коши для существования предела функции по базе множеств, можно сформулировать критерий Коши для двойных рядов.
Теоремаї (критерий Коши). Для того чтобы двойной ряд Yam,n сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого є > О существовали числа то (г) и по(є) такие, что при всех rri\ ^m2 > то (б") и пі,п2 > по(^) справедливо неравенство
|Ami>ni j^ma1TiaI С
В важном случае двойных рядов с неотрицательным общим членом Pm,n >0 справедлива следующая теорема.
Теорема2. Для СХОДИМОСТИ ДВОЙНОГО ряда JZm Yln Pm,n с условием Pm,n > 0 необходимо и достаточно, чтобы его частичные суммы Pmtn были бы ограничены в совокупности, т.е. чтобы существовало число С > О, для которого Pm n < С при всех натуральных тип.
