Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
OO / 9 \
Xі \
II1-S =
n = l
Это равенство мы докажем позднее, а сходимость вытекает из утверждения 3.
Пример 3. Бесконечное произведение для дзета-функции Римана.
OO
При S > 1 функция Ct5) определена сходящимся рядом C(s) = E
«=1
Пусть pi = 2, р2 = 3, рз = 5,.. . — последовательно занумерованные простые числа натурального ряда.
Утверждение 6 (формула Эйлера бесконечного произведения дзета - функции Римана С(®))- При s > 1 имеет место следующая формула:
™ і і \-1 (M = Zi = U^-Ji) ¦
П—1 к=1
Доказательство. Имеем
m = l 4 lm/ т-ї \ гт Ут
Раскрывая скобки, согласно неравенству pk > Ar, справедливому при всех к Є N, получим
* 1 L—' ns
n = l
С другой стороны, очевидно, что
OO
Ib = E '
а*
т= 1 т
где ат — некоторая подпоследовательность натуральных чисел, которая не содержит повторений в силу однозначности разложения
420 натурального числа на простые сомножители^. Отсюда имеем, неравенства
оо - оо .
n = l т=1 * п=: 1
Переходя здесь к пределу при к ос, получаем требуемый результат. Утверждение доказано.
При s=l справедлива оценка
п*= JJ(i + -i- + -r + ¦••)> - + р
т = 1
Pm гт
оо
1 \-1
поэтому произведение Yl (1 ~ о ) расходится к +оо, а вместе с ним
к=\
оо оо
расходятся ряды — E ^nO ~ ;г) и Yl
Jb= 1 Pfc к = \Рк Лекция 22
§ 10. БЕСКОНЕЧНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Понятие определителя бесконечного порядка возникает в связи с изучением 'систем из бесконечного числа линейных уравнений от бесконечного количества неизвестных. Потребность в рассмотрении таких систем уравнений и таких определителей впервые возникла при исследовании задачи об определении движения перигелия лунной орбиты, которое провел Г. Хилл. Позже, в 1886 г. А. Пуанкаре дал строгое математическое обоснование метода Хилла. Еще одно приложение метода бесконечных определителей дано в работах Е. Фредгольма в 1903 г. при исследовании линейных интегральных уравнений.
Пусть Ьтп — двойная последовательность вещественных чисел. Обозначим через Dm = ||?т|| определитель квадратной матрицы Bm = = (bjtei)i где индексы к и / пробегают значения от 1 до m. В этой матрице число bki находится на пересечении строки с номером к и столбца с номером /. Главную диагональ этой матрицы образуют числа Ькк, где к= 1,...,т. Обозначим через В бесконечную матрицу ll&mnll, где т,п = 1,2,3,... .
Определение 1. Если последовательность определителей Dm сходится к числу D при m —» оо, то будем говорить, что бесконечный определитель D = ||В|| матрицы В сходится к числу D или что он равен D.
Если последовательность Dm расходится, то этот определитель будем называть расходящимся.
Определители Dm будем называть частичными определителями бесконечного определителя D. Введем новые обозначения. Для диагональных элементов матрицы В положим 6nn = 1 + апп. Если же m / п, то будем считать, что amn = bmn.
Определение 2. Мажорантой Пуанкаре бесконечного определителя D назовем бесконечное произведение P вида
при условии, что все ряды E lamr»l сходятся и само произведение P
OO
ft=1
тоже сходится.
422 'т'
Определение 3. Конечное произведение Pm вида
т / г п 4
Р» = П 1+Ew
k=z 1 V (=1
называется мажорантой Пуанкаре определителя Dr
Теоремаї (лемма Пуанкаре). При всех m Є N справедливы оценки:
1)\Dm\<Pm;
2)\Dm+i — Dm j < Рт+1 — Pm.
Доказательство. 1. Определитель Dm состоит из т! слагаемых вида
(-IT^bu1-... -ьт1т.
Здесь с(сг) - функция ЧЄТНОСТИ подстановки <7 = (ll,... Jm) У с(сг) = О
для четной и с(сг) = 1 для нечетной подстановки ст. Следовательно,
т / т \
к=і \г=і
m
m
т •
<П(1+1>"| =p^
к=і V 1=\ J
Утверждение 1 доказано.
2. Разложим определитель Dm+j по элементам последней строки. Получим
Dm+1 = Gm-HiI-Am-J-IjI H-----b am+ijfnAm+Ijm -j- (1 4- am4.ijm+i)Z)m.
Здесь Am+!^ — алгебраические дополнения в матрице Вт+\ к элементам Gtm+!^ ее последней СТрОКИ
!+OiiJ ... ai,/-! ei,f+i ... ai.m+i
Am+l,l = (-1Г+1+' ,
Как и выше (при доказательстве п. 1), имеем
/ \
т + 1
E і**,.і
^m,т+1
т
Ит+1,іІ< П
к = 1
п = 1
/
т
т + 1
<П і + ?іамі =<?».•
к = 1
Tl = I
т + 1
Заметим, что Qm > Pm > О и Pm+1 = Qm(l + ? |«m,i|)- Поэтому
/=і
\Dm+i-Dm\<
< |am + l,l| • |An + l,l| +----Ь |am+l,m| ' Ит + 1,т| + |am+l,m + l| ' \Dm | <
< Qm(|om+l(l| +----1" |От+1,т| + |вт+1,т+і|) = -Prn+1 ~ Qm — Pm+1 ~ Pm-
Теорема 1 доказана.
423 Теорема2 (теорема Пуанкаре). Бесконечный определитель сходится, если абсолютно сходятся бесконечное произведение его диагональных элементов и двойной ряд, составленный из его недиагональных элементов.
Доказательство. Так как Ьтт — 1 -f amm, то аб-
OO
солютная сходимость J} Ьтт произведения диагональных элементов
т=1
(X)
эквивалентна сходимости ряда Yl lam,m|- Кроме этого, по условию
Ш = 1
СХОДИТСЯ и ДВОЙНОЙ ряд E l°m,n|-
Ho тогда сходится и бесконечное произведение P, где
OO / OO
р= П 1+Ei--I
т=1 \ п = 1
так как его сходимость обеспечена сходимостью повторного ряда
