Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
I2
I
a(x,y)?(x,y)dx
< СЄ + CS = 2се,
что влечет за собой справедливость утверждения (Д). Теорема доказана. Лекция 19
§ 7. НЕПРЕРЫВНОСТЬ, ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ И ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ПО ПАРАМЕТРУ НЕСОБСТВЕННЫХ
ИНТЕГРАЛОВ
Докажем теорему о переходе к пределу функции в точке под знаком несобственного интеграла.
Теорема 1. Пусть функция f(x, у) задана на множестве P = XxY, где X = (а,+оо), Y = [6, с], Пусть, далее, выполнены следующие условия:
1) при некотором уо Є Y и при любом t € X на промежутке E = Et = [a,t] имеет место равномерная сходимость
/(я,у)=М*) ПРИ У-»уо;
et
oo
2) несобственный интеграл h(y) = J f(x,y)dx сходится равномерно
a
на Y. Тогда;
а) функция д(х) интегрируема по Риману на любом отрезке Et;
OO
б) интеграл J = f g{x)dx сходится;
a
в) существует предел I = Iim Л (у);
!/-»¦Уо
г) имеет место равенство
OO OO oo
I= Iim Л(у) = Iim / f(x,y)dx= I lim f(x,y)dx= I g(x)dx = J. У-+УО у—>Уо J J У-+УО J
a a a
Доказательство. Рассмотрим произвольную монотонную
числовую последовательность уп Є- Y с условием уп —У уо. Тогда в силу
условия 1) для функциональной последовательности <jn(x) = /(х,уп)
при п —> оо справедливо соотношение </п(я) где Et = [а,*] и
et
t > а — любое фиксированное число. Далее, из теоремы 1 §6 гл. XVI об интеграле от функциональной последовательности вытекает, что функция g(x) = lim <jn(x) интегрируема на Et, причем
п-к»
t t t Jf{x,yn)dx = jgn{x) dx = Qt n -+Qt = Jdix) dx,
15 Лекции ію математическому анализу
449 где величины Qt>п и Qt определяются последним равенством.
В силу условия 2) при t —> +00 имеем Qt n=^Qni поскольку для
n
любого є > 0 существует <0 = > а такое, что при всех t > tо и при всех натуральных п справедливо неравенство \Qt,n ~~ Qn\ Следовательно, по теореме о двойном и повторном пределах по базам (§6 гл. XVI) существуют и равны оба повторных предела, т.е.
Iim lim Qt,п = Hm lim Qt,п.
n—too t—f+OO t-*+oo п—foo
Но тогда
OO
lim lim Qt,п = Iim I f(x,yn)dx = lim Л(у„) = I,
n—VOO t—V + OO n—VOO J ft—VOO
a
а также
OO
lim lim Qt n — lim / a(ar) dx = Jt
t-v+oo Jl-VOC ' t—v+oo J
a
откуда l = J. В силу произвольности выбора последовательности уп отсюда вытекает утверждение теоремы. Теорема 1 доказана.
Из этой теоремы вытекает следующее свойство непрерывности несобственных параметрических интегралов.
Теорема2. Пусть функция f{x,y) непрерывна на множестве P = XxY, где X = (a,-foo),У = [6,с], и пусть интеграл
OO
%) = J /(*>У)Л
равномерно сходится на Y.
Тогда функция h(y) непрерывна на У.
Доказательство. Непрерывность Л (у) в каждой фиксированной точке j/o Є У означает, что h(y) -> Л(уо) при у уо. Для доказательства этого соотношения воспользуемся теоремой 1. Очевидно, ее условие 2) выполнено. Далее, из непрерывности f(x,y) на P следует ее равномерная непрерывность на Pt = fa, х [с, t/j при любом t > а. В свою очередь, отсюда имеем, что
/(«»у) =4 Дя,Уо) при КО
т.е. условие 1) теоремы 1 выполнено, а это означает, что при у -4 уо
оо
h{y) J f(x7y0) dx = h(xo).
a
Теорема 2 доказана.
450 ТеоремаЗ (условие интегрируемости несобственных интегралов по параметру). Пусть функция f(x,y) непрерывна на P = XxY, где
OO
X = (а, +оо), Y = [Ь, с] и пусть интеграл р(у) = / /(х, у)с/х существует и
а
равномерно сходится на Y, Тогда функция д(у) будет интегрируема на Yt а функция h(x) = f(x,y)dy будет интегрируема на X = [а, +оо), причем
oo
J 9(y)dy = J h{x)dx,
b a
т.е. равны повторные интегралы
С OO OO с
J dyJ f{x,y)dx = J dx J f(x,y)dy.
b a ab
Доказательство. Рассмотрим произвольную монотонную* последовательность tn € X с условием tn +00. Тогда
tn
функциональная последовательность gn{y), где дп{у) = J f{x,y)dx,
а
равномерно сходится к функции д(у) на множестве Y. Каждая из функций <7п(я) непрерывна на У, потому при фиксированном п по теореме об интегрировании собственных интегралов по параметру (теорема 3 §4) имеем
С tn С 'п С
JdyJ f{x,y)dx = Jgn(y)dy = JdxJ f(x,y)dy. (*)
b a b ab
По теореме 1 §6 гл. XVI возможен переход к пределу при П OO под знаком интеграла и существует число А такое, что
С С С С OO
A = Iirn J 9n{y)dy = J Jiirnjgn{y)dy = J g{y)dy = J dy J f{x,y)dx.
b b b b a
Переходя в равенстве (*) к пределу при n —^ оо, получим, что предел его правой части существует и равен А,
In с
A= iim I dx I f(x, y)dy. n-кх, j j
a b
Но поскольку последовательность tn — произвольная, последний предел равен интегралу
OO с
/ dx J ^x * ^dy'
і.ч*
4SI Тем самым теорема 3 доказана полностью.
Теперь докажем теорему о дифференцировании несобственного интеграла по параметру.
Теорема4 (правило Лейбница). Пусть: ¦ 1) функция f(x, у) непрерывна на P = XxY, где X = (а,+оо), У = M;
2) частная производная fy(x,y) существует и непрерывна на Р;
OO
3) интеграл g{y) = J f(x, у) dx сходится при всех у Є У;
a
оо
4) интегрЬл f f 'y(x,y)dx равномерно сходится на У.
