Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
1 лава XVII. Абстрактные пространства
Если мы сделаем замену координат у\, ... , у>, на X1, ... , хп по формулам
Vl = aUxI + • • • + aIbXn, У« = Яя|Ж] 4" . . . -+- OvnXn,
то дифференциалы dyу выразятся через дифференциалы dxi как раз по формулам (17). Стало быть, такая замена координат решает поставленную задачу: в координатах X1, ..., Xn в выбранной нами точке квадрат дифференциала ds2 выражается в простом «эвклидовском» виде (1С). Тем самым доказано, что общая формула (13) действительно задает риманову метрику.
5. Эвклидово пространство есть простейший частный случай риманова пространства1. Важной задачей римановой геометрии было дать аналитическое выражение отличия общего риманова пространства от эвклидова, определить, так сказать, меру неэвклидовости риманова пространства. Этой мерой служит так называемая кривизна пространства.
Нужно прежде всего подчеркнуть, что понятие о кривизне пространства вовсе не связано с представлением о том, что пространство находится в каком-либо высшем объемлющем пространстве, где оно как-то искривлено. Кривизна определяется внутри самого данного пространства и выражает его отличие от эвклидова в смысле его внутренних геометрических свойств. Это нужно ясно понимать, чтобы не связывать понятие о кривизне пространства ни с чем посторонним. Когда говорят, что наше реальное пространство имеет кривизну, это значит лишь, что его геометрические свойства отличны от свойств эвклидова пространства. Но это вовсе не означает, что наше пространство лежит в каком-то высшем пространстве, где оно как-то искривлено. Такое представление не имеет никакого отношения к применению римановой геометрии к реальному пространству, а принадлежит области спекулятивных фантазий.
Понятие кривизны риманова пространства обобщает на п измерений понятие гауссовой кривизны поверхности. Как было сказано в § 4 главы VII (том 2), гауссова кривизна служит мерой отклонения внутренней геометрии поверхности от геометрии на плоскости и может рассматриваться с чисто внутренне-геометрической точки зрения. Она
1 С эвклидовом пространство элемент длины в прямоугольных координатах
выражается формулой (16): ds- = ~^dx^. Если перейти к другим координатам, то, согласно выводам п. 4, ds2 выразится некоторой квадратичной формой (13). Стало быть, в любых координатах и в эвклидовом пространстве имеет место такая же общая формула (13) для элемента длины. Эвклидово пространство отличается, однако, от любого другого тем, что в нем можно ввести координаты (и это будут прямоугольные координаты) так, что формула (16) при одних и тех же координатах будет выполняться всюду, а не только вблизи той или иной точки, как это имеет место в общем римановом пространстве. § 9. Риманова геометрия
165
есть не что иное, как кривизна того двумерного риманова пространства, которое представляет собою данная поверхность.
Напомним для примера две формулы внутренней геометрии, в которые входит гауссова кривизна. Пусть на поверхности вблизи какой-либо точки О имеется малый треугольник, стороны которого — геодезические линии; пусть его углы будут зс, ?, у, а площадь а. Величина ос —f— ? —f— Y — ~ выражает отличие суммы его углов от суммы углов треугольника на плоскости.
Если треугольник стягивается к точке О, то отношение сс -(- ? -f- у — я к его площади а стремится к гауссовой кривизне К в точке О. Иными словами, для малого треугольника
а 1 '
где s -*• 0, когда треугольник стягивается к точке О. Это как раз показывает, что гауссова кривизна К служит мерой отличия суммы углов треугольника на поверхности от суммы углов треугольника на плоскости.
Рассмотрим еще малую окружность на поверхности с центром в точке О (т. е. геометрическое место точек, равноудаленных от О в смысле расстояния по поверхности). Если г — радиус окружности, a I — ее длина, то
где К — опять гауссова кривизна в точке О, а г обозначает величину, малую по сравнению с г3.
Здесь гауссова кривизна выступает как мера отклонения длины малой окружности от величины 2тгг, которой она равна в эвклидовой геометрии.
Аналогичную роль играет кривизна риманова пространства. Она может быть определена, например, следующим образом. В данном римановом пространстве проводится гладкая поверхность F, образованная геодезическими линиями, проходящими через данную точку О. Гауссова кривизна этой поверхности и принимается за кривизну пространства в точке О в направлении поверхности F. Вообще говоря, эта кривизна будет различной не только в разных точках О, но и для разных геодезических поверхностей F, проходящих через одну и ту же точку О. Кривизна пространства в данной точке не характеризуется, стало быть, одним числом. Еще Риман ввел общий закон, связывающий кривизны разных поверхностей F в одной и той же точке. Благодаря этим связям кривизна в точке вполне характеризуется некоторой системой чисел — так называемым тензором кривизны. Однако мы не можем вдаваться здесь в объяснения по этому поводу, так как это потребовало бы привлечения большого математического аппарата. Важно усвоить только, что кривизна есть мера неэвклидовости риманова пространства; она определяется внутри него самого как мера отклонения его метрики от метрики эвклидова пространства. Она определяет, например, отличие суммы углов треугольника от X и отличие длины окружности от lizr. В разных точках она имеет, вообще говоря, различные значения, но и в одной точке она задается не одним числом, а некоторой системой чисел.
