Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
s= \Jbx2-\- Ду2. В трехмерном пространстве аналогично
s = +Дг/2+Дг2. В га-мерном же эвклидовом пространстве расстояние определяют общей
формулой _
S= ^Да* + ... + Да:2.
Отсюда легко заключить, как нужно задавать закон измерения расстояний в римановом пространстве. Закон этот должен совпадать с эвклидовским, но лишь в бесконечно малой области вблизи каждой точки. Это приводит к следующей формулировке этого закона.
Риманово га-мерное пространство характеризуется тем, что вблизи любой его точки А можно ввести координаты X1, х2, ..х„ так, чтобы расстояние от точки А до бесконечно близкой точки X выражалось формулой
ds= \jdx\-f- ... +Clxfi, (12) 160 1 лава XVII. Абстрактные пространства
где dxj, ..., dx„ — бесконечно малые разности координат точек А и X, Точнее это можно выразить иначе, а именно: расстояние от точки А до любой близкой точки X выражается той же формулой, что в эвклидовой геометрии, но лишь с некоторой точностью, которая тем выше, чем ближе точка X к точке А, т. е.
S(AX) = УДх\ + ... + Да* + е,
где ? — величина малая в сравнении с первым слагаемым и притом тем меньшая, чем меньше разности координат Джх, Ьхяг.
Это и есть точное математическое определение римановой метрики и риманова пространства. Отличие римановой метрики, т. е. закона измерения расстояний, от эвклидовой состоит в том, что такой закон имеет место только вблизи каждой данной точки. Кроме того, координаты, в которых он так просто выражается, приходится брать разные для разных точек2. Отличие общей римановой метрики от эвклидовой мы еще уточним дальше.
То, что риманово пространство совпадает в бесконечно малом с эвклидовым, позволяет определить в нем основные геометрические величины, подобно тому как это делается во внутренней геометрии поверхностей посредством приближения бесконечно малого куска поверхности плоскостью (том 2, глава VII, § 4). Например, бесконечно малый объем выражается так же, как в эвклидовом пространстве. Объем конечной области получается суммированием бесконечно малых объемов, т. е. интегрированием дифференциала объема. Длина кривой определяется суммированием бесконечно малых расстояний между ее бесконечно близкими точками, т. е. интегрированием вдоль кривой дифференциала длины ds. Это и есть строгое аналитическое выражение того, что длина определяется откладыванием малого (бесконечно малого) масштаба вдоль кривой. Угол между кривыми, исходящими из одной точки, определяется точно так же, как в эвклидовом пространстве. Далее, в я-мерном римановом пространстве можно задавать поверхности разного числа измерений от 2 до п — 1. При этом легко доказывается, что каждая такая поверхность представляет в свою очередь некоторое риманово пространство соответствующего числа измерений, совершенно подобно тому, как поверхность в обычном эвклидовом пространстве оказывается двумерным римановым пространством.
1 Обычно точный смысл формулы (12) выражают следующим образом. Пусть из точки А исходит кривая, Так что координаты ее точек X заданы как функции X1(I), x2(t),. . ., х„ (t) некоторой переменной г. Тогда дифференциал ds длины дуги этой кривой в точке А выражается формулой (12).
2 Если бы можно было во всем пространстве ввести координаты так, что для любой пары близких точек имел бы место такой закон измерении расстояний, то пространство было бы эвклидовым. § 9. Риманова геометрия
161
Доказано также, что риманово пространство всегда может быть представлено поверхностью в эвклидовом пространстве достаточно большого числа измерений, именно: для всякого га-мерного риманова про-
n(n-fl)
странства найдется в ——^—- -мерном эвклидовом пространстве «-мерная поверхность, которая с точки зрения ее внутренней геометрии не отличается от этого риманова пространства (по крайней мере в данной ее ограниченной части).
4. Для того чтобы действительно получить в римановой геометрии аналитические выражения разных геометрических величин, нужно прежде всего дать общее выражение для закона измерения длин в ри-мановом пространстве, не связанное специально с особыми для каждой точки координатами. Ведь формула (12) имеет место для каждой точки А при специальном для этой точки выборе координат, так что при переходе от одной точки к другой нужно менять и сами координаты, а это, конечно, неудобно. Избавиться от этого, оказывается, легко, именно можно доказать следующее.
Пусть в какой-либо области риманова пространства введены какие угодно координаты yv у2,..., уп. Тогда «бесконечно малое расстояние», или, как говорят, «элемент длины» ds от точки А с координатами
Ух, Уг.....Уп До точки X с координатами ух -f dyv у2 -f dy2,г/„ -f dyK
выражается формулой
ds = \/ V gikdy(dyk, или ds2 =-- ^ gikdy{dyk, (13)
™ і, S:=]
где коэффициенты gik являются функциями координат yv у2,..., уп точки А.
Выражение, стоящее в последней формуле справа, называется квадратичной формой относительно дифференциалов координат dyv..., dyHl. В развернутом виде она пишется так:
У gikdyidyk = gudy\ -f gY4yxdy2 -j- g2ldy2dyl -f g22dy\ -f .. .
