Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
В том, что было только-что сказано о пространстве, скрыты по крайней мере три трудности. К их выяснению и сводится в конечном счете проблема отношения абстрактной геометрии к физической геометрии, т. е. к свойствам реального пространства.
Первая трудность состоит в том, чтобы по возможности представить себе, как и в каком смысле свойства реального пространства могут отли-
1 Абстрактное понимание аксиом, отвлекающее аксиомы от их первоначального содержания, возникло всего лет пятьдесят назад, и оно ничего не меняет в том факте, что аксиомы эвклидовой геометрии выражают законы природы. Говоря об аксиомах, а не о законах геометрии или механики, хотят выдвинуть на первый план логическое дедуктивное построение этих наук, но от этого эти науки не теряют своего опытного основання. Какое-либо положение теории называется аксиомой, если оно принято за основу при дедуктивном построении теории, когда другие положения теории (теоремы) выводятся из основных (аксиом) путем логических рассуждений. § 10. Абстрактная геометрия и реальное пространство
171
чаться от того, что дает эвклидова геометрия. Мы слишком привыкли к ней, чтобы легко вообразить себе что-нибудь другое, и разъяснения тут, конечно, необходимы.
Вторая трудность заключена в самом выражении «свойства реального пространства». Пространство само по себе мыслят как пустое и однородное. Казалось бы, в самом понятии пространства уже заключено представление о его однородности. И как пустое пространство, т. е. «пустота», может иметь какие-то свойства? Мы говорим «свойства пространства», не задумываясь над этими вопросами, но стоит в них вдуматься, как указанная трудность станет достаточно ощутимой.
Третья трудность заключена в понятии об истинности той или иной геометрии. Казалось бы, дело очень просто: та геометрия истинна, которая соответствует действительности. Это, конечно, так. Но, с другой стороны, мы видели, например, что геометрию внутри круга можно понимать как геометрию Лобачевского, поскольку всякий геометрический факт внутри круга можно изложить как теорему геометрии Лобачевского. Следовательно, оказывается, что одни и те же геометрические факты можно излагать и как теоремы геометрия Эвклида н как теоремы геометрии Лобачевского. Значит, обе геометрии соответствуют действительности. Так, какая же из них истинна и в каком смысле, и почему мы все-таки считаем, что в круге на самом деле выполняется эвклидова геометрия, а геометрия Лобачевского в нем лишь изображается, интерпретируется?
Ясно, что в этих вопросах имеется известная трудность, о которую в свое время споткнулись и некоторые крупные математики.
Разъяснения следует начать со второй из названных трудностей, потому что из понимания того, что такое «свойства пространства», последует решение и других затруднений.
2. Предмет геометрии — «свойства пространства» — составляют свойства реальных тел, их материальные отношения и формы. В реальном пространстве «место», «точка», «направление» и т. п. определяется материальными телами. «Здесь» и «там», «туда» и «сюда» и т. п. имеют смысл лишь в связи, в отношении к тем или иным материальным предметам. «Здесь» может означать «на земле», «в этой комнате» или что-нибудь в том же роде; словом, «здесь» — это всегда означает место, определенное теми или иными материальными признаками. Точно так же, например, прямая линия не существует сама по себе, а лишь как натянутая нить, или край линейки, или луч света. Прямая же вообще, «прямая как таковая», есть абстракция, отражающая общие свойства этих материальных прямых, точно так же, как, скажем, «дом вообще» есть абстракция, отражающая общиз свойства домов; «дом вообще» не существует вне и независимо от отдельных реальных домов.
Этот объективный характер свойств пространства выражен известным положением диалектического материализма: пространство есть форма существования материи. Форма предмета определяется связями и отно- 172
1 лава XVII. Абстрактные пространства
потениями его частей. Структура пространства есть общая закономерность ряда отношений материальных тел и явлений. Это — пространственные отношения, пространственный порядок предметов, их взаимное расположение, расстояния и т. п. Но как всякая форма неотделима от содержания иначе, как в абстракции и в известных рамках, так и пространство неотделимо от материи. Представление о пространстве «самом по себе», пространстве без материи, есть абстракция, которой нельзя злоупотреблять. Реальные пространственные отношения и формы: «здесь», «между», «внутри», «прямая», «шар» и т. д. и т. п. — это всегда отношения и формы материальных тел. Геометрия же рассматривает их отвлеченно. Эго отвлечение от конкретности необходимо, ибо иначе нет возможности познать общее в разнообразных конкретных отношениях предметов. Но нельзя это отвлечение абсолютизировать, подменять отвлеченными понятиями саму объективную реальность.
В абсолютно пустом пространстве, вовсе лишенном следов материи, ничем не различались бы ни места, ни направления, тут, следовательно, нет ни места, ни направлений, так что абсолютно пустое пространство превращается в ничто. Даже в абстрактном представлении пустого пространства молчаливо подразумевают, что в нем различимы разные места и направления. Другими словами, в отвлеченном представлении о пространстве удерживают свойства различимости места, направления, расстояния, которые в реальном пространстве существуют именно потому, что это пространство неразрывно связано с материальными телами.
