Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Александров А.Д. -> "Математика ее содержание, методы и значение Том 3" -> 72

Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.

Александров А.Д. Математика ее содержание, методы и значение Том 3 — М.: Академия наук , 1956. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): matemateesoderjanieiznacheniet31956.djvu
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 145 >> Следующая


что конфигурационное пространство волчка трехмерно.

Движение системы представляется движением точки в конфигурационном пространстве. Скорость этого движения определяется скоростями изменения координат X1, X2,..., Xn.

О таких пространствах в связи с их топологической структурой еще будет идти речь в главе XVIII. Здесь же мы хотим подчеркнуть, что в конфигурационном пространстве можно ввести специальный закон измерения расстояний, тесно связанный с механическими свойствами системы. Именно, если кинетическая энергия системы выражается формулой

п

T = -у ^jv a-ik^A, і,k=1

где Xi — скорость изменения соответствующей координаты, то квадрат бесконечно малого расстояния задается формулой

п

ds2 = aikdxtdxk.

і,к—Л

Таким образом, конфигурационное пространство становится рима-новым пространством. При этом движение системы не только представляется движением точки в конфигурационном пространстве, но и самые уравнения, описывающие движение системы, совпадают с уравнениями движепия этой точки; словом, механика системы изображается как механика точки в конфигурационном пространстве. В частности, движение системы по инерции, т. е. без воздействия сил

1 Не следует смешивать его с «фазовым пространством», упомянутым в § 8, п. 2. В фазовом пространстве точка определяет не только расположение, но и ско-

рости движения точек системы в каждый момент. § 10. Абстрактная геометрия и реальное пространство

169

(подобно свободному вращению волчка), представляется равномерным движением точки по геодезической линии в этом пространстве.

Это изображение оказывается в ряде случаев полезным, и им, как и некоторыми его обобщениями и видоизменениями, пользуются в теоретической механике.

Таким образом, риманова геометрия находит себе применение как метод абстрактно-геометрического описания физических явлений. Это описание вовсе не произвольно и не является игрой математического ума, оно отражает реальные закономерности рассматриваемых явлений, но отражает их в абстрактной форме. Такова, однако, природа всякого математического описания физических явлений. Такова же природа всякого применения абстрактной геометрии. Разница состоит лишь в том, чго здесь применяются более сильные, более тонкие абстракции, но сущность остается той же самой.

Наиболее блестящее приложение риманова геометрия нашла в теории относительности. Но об этом мы будем говорить в следующем параграфе, потому что здесь речь идет о важном и трудном вопросе отношения абстрактной геометрии к свойствам реального пространства.

7. За последние 30 лет геометрия различных неэвклидовых пространств подверглась значительному развитию и обобщениям в разных направлениях. Возникли новые теории, в которые риманова геометрия была включена как частный случай. Первой из них была так называемая фипслерова геометрия, идея которой восходит еще к Риману1; затем —общая теория пространств крупнейшего французского геометра Э. Картана, соединившего римапову геометрию с Эрлангенской программой Клейна, и другие теории. Не имея возможности говорить об этих новейших направлениях геометрии, заметим только, что они разрабатываются в основном посредством специально приспособленного для них аналитического аппарата. В развитии этих новых направлений участвует группа советских геометров; тут можно было бы назвать новую «полиметрическую» геометрию, созданную П. К. Рашевским, исследования В. В. Вагнера, простирающиеся от наиболее общих проблем теории кривых пространств до приложений неэвклидовой геометрии в механике, и др.

§ 10. АБСТРАКТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И РЕАЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО

1. Следуя в предыдущем изложении развитию геометрических идей начиная от Лобачевского, мы углубились в абстрактные пространства и довольно далеко ушли от первоначального предмета геометрии — того рзального пространства, в котором протекают все явления. Теперь мы обратимся к этому пространству в обычном смысле, и нашей задачей

1 Финслер — немецкий математик, начавший в 1916 г. детальную разработку упомянутой геометрии. 170

1 лава XVII. Абстрактные пространства

будет выяснить, что дало развитие абстрактной геометрии для- познания его свойств.

Мы знаем, что геометрия возникла из опыта, из опытпого исследования пространственных форм и отношений тел: из измерений земельных участков, объемов сосудов и т. п. Таким образом, по происхождению она есть такая же физическая теория, как, скажем, механика. Аксиомы эвклидовой геометрии — это четко сформулированные выводы из длительного опыта; они выражают законы природы, и их можно называть законами геометрии так же, как основные законы механики часто теперь называют аксиомами механики Но нельзя утверждать, что эти законы являются абсолютно точными и никогда не потребуют уточнения и обобщения в связи с новыми опытными данными; реальные свойства пространства могут в той или иной мере отличаться от того, что дает эвклидова геометрия.

Эти рассуждения мы уже приводили, и теперь они представляются, пожалуй, совсем очевидными. Но не так было сто лет назад, когда идеи Лобачевского еще не завоевали общего признания. До Лобачевского и Гаусса никому и в голову не приходило, что эвклидова геометрия может оказаться не совсем точной, что реальные свойства пространства могут быть несколько иными. Лобачевский развивал свою геометрию как теорию возможных свойств реального пространства. Позже Риман и некоторые другие ученые также ставили вопрос о возможных свойствах пространства, о возможных законах измерения длин, которые могли бы обнаружиться при уточнении измерений. Вообще абстрактная геометрия в некоторых своих частях могла и может рассматриваться как теория возможных свойств пространства. Все это оставалось, однако, в области гипотез, пока в 1915 г. Эйнштейн в своей общей теории относительности не подтвердил идей Лобачевского и Римана. Эта теория утверждает, что геометрия реального пространства действительно несколько отлична от эвклидовой, и это обнаруживается именно в астрономических масштабах, как того ожидал Лобачевский.
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed