Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
2. Идеи Римана, имеющие столь блестящее продолжение, оказываются достаточно простыми, если отвлечься от математической разработки и обратить внимание лишь на их основную сущность. Такая простота свойственна собственно всем большим идеям. Не была ли проста идея Лобачевского, рассматривать выводы из отрицания V постулата как некоторую возможную геометрию? Не проста ли идея эволюции организмов или идея атомного строения вещества? Все это просто и вместе с тем очень сложно, ибо новые идеи, во-первых, 158
1 лава XVII. Абстрактные пространства
должны прокладывать себе широкую дорогу, а не укладываться в сложившиеся рамки, а во-вторых, их многостороннее обоснование, развитие и применение требуют массы , труда, изобретательности и невозможны без специального аппарата науки. Для римановой геометрии таким аппаратом служат ее формулы; они сложны и потому доступны лишь специалистам. Но мы не будем думать о сложных формулах, а обратимся к сущности идей Римана. Как уже сказано, Риман начинает с рассмотрения любой непрерывной совокупности явлений как своего рода пространства. В этом пространстве координатами точки являются величины, определяющие соответствующее явление среди других, как, например, интенсивности х, у, z, определяющие цвет
Ц = хК -\-уЗ-\-zC. Если таких величин га, скажем X11 х2,____ х„, то
говорим об га-мерном пространстве. В этом пространстве можно рассматривать линии и ввести измерение их длин малыми (бесконечно малыми) шагами, подобно измерению длины кривой в обычном пространстве.
Для того чтобы мерить длины бесконечно малыми шагами, достаточно задать закон, определяющий расстояние от любой данной точки до любой к ней бесконечно близкой. Этот закон определения (измерения) расстояний называют мероопределением или метрикой. Самый простой случай,—когда этот закон оказывается тем же, что в эвклидовом пространстве. Такое пространство будет эвклидовым в бесконечно малом. Иными словами, геометрические соотношения эвклидовой геометрии будут в нем выполняться, но лишь в каждой бесконечно малой области; правильнее сказать, они выполняются в любой достаточно малой области, но не точно, а с точностью тем большей, чем меньше область. Пространство, в котором расстояния измеряются по такому закону, называют римановым; геометрию же таких пространств называют римановой. Риманово пространство есть, следовательно, пространство, являющееся эвклидовым «в бесконечно малом».
Простейший пример риманова пространства представляет любая гладкая поверхность с ее внутренней геометрией. Внутренняя геометрия поверхности есть риманова геометрия двух измерений. Действительно, вблизи каждой своей точки гладкая поверхность мало отличается от касательной плоскости, и это отличие тем меньше, чем меньшую область поверхности мы рассматриваем. Поэтому и геометрия в малой области поверхности мало отличается от геометрии на плоскости; чем область меньше, тем меньше это отличие. Однако в больших областях геометрия кривой поверхности оказывается отличной от эвклидовой, как это было выяснено в § 4 главы VII (том 2) и как это легко видеть на примерах шара или псевдосферы, Риманова геометрия есть не что иное, как естественное обобщение внутренней геометрии поверхности с двух измерений на любое число га. Подобно поверхности, рассматриваемой лишь с точки зрения ее внутренней геометрии, трехмерное риманово пространство, будучи эвкли- § 9. Риманова геометрия
159
довым в малых областях, в больших областях может отличаться от эвклидова. Например, длина окружности может не быть пропорциональной радиусу; она будет с хорошим приближением пропорциональной радиусу лишь для малых окружностей. Сумма углов треугольника может не равняться двум прямым (при этом в построении треугольника роль прямолинейных отрезков играют линии кратчайшего расстояния, т. е. линии, имеющие наименьшую длину среди всех линий, соединяющих данные точки).
Можно представить себе, что реальное пространство оказывается эвклидовым лишь в областях, небольших в сравнении с астрономическими масштабами. Чем меньше область, тем точнее выполняется эвклидова геометрия, но можно думать (и так оно и оказывается), что в очень больших масштабах геометрия уже несколько отлична от эвклидовой. Эту идею, как мы знаем, выдвинул еще Лобачевский. Риман обобщил ее, допуская мысль о любой геометрии, эвклидовой в бесконечно малом, а не только о геометрии Лобачевского, которая оказывается частным случаем римановой геометрии.
Из сказанного видно, что риманова геометрия возникла на основе синтеза и обобщения трех идей, выдвинутых развитием геометрии. Первой явилась идея о возможности геометрии, отличной от эвклидовой; второй было понятие о внутренней геометрии поверхностей третьей — понятие о пространстве любого числа измерений.
3. Для того чтобы уяснить, как математически определяется рима-ново пространство, вспомним прежде всего закон измерения расстояний в эвклидовом пространстве.
Если на плоскости ввести прямоугольные координаты х, у, то по теореме Пифагора расстояние между двумя точками, координаты которых отличаются на Да; и А у, выражается формулой
