Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Формулируем теперь общий вывод.
Под «пространством» в математике понимают вообще любую совокупность однородных объектов (явлений, состояний, функций, фигур, значений переменных и т. п.), между которыми имеются отношения, подобные обычным пространственным отношениям (непрерывность, расстояние и т. п.). При этом, рассматривая данную совокупность объектов как пространство, отвлекаются от всех свойств этих объектов, кроме тех, которые определяются этими принятыми во внимание пространственно-подобными отношениями. Эти отношения определяют то, что можно назвать строением или «геометрией» пространства. Сами объекты играют роль «точек» такого пространства; «фигуры» — это множества его «точек».
Предмет геометрии данного абстрактного пространства составляют те свойства пространства и фигур в нем, которые определяются принятыми в расчет пространственно-подобными отношениями. Так, например, при рассмотрении пространства непрерывных функций вовсе не занимаются свойствами отдельных функций самих по себе. Функция играет здесь роль точки и, стало быть, «не имеет частей», не имеет в этом смысле никакого строения, никаких свойств вне связи с другими точками; точнее, от всего этого отвлекаются. В функциональном пространстве свойства функций определяют только через их отношения друг к другу — через их расстояния и через другие отношения, которые можно вывести из расстояния.
Разнообразию возможных совокупностей объектов и различных отношений между ними отвечает неограниченное разнообразие пространств, изучаемых в математике. Пространства можно классифицировать по типам тех пространственно-подобных отношений, которые кладутся в основу их определения. Не имея в виду охватить все разнообразие типов абстрактных пространств, отметим прежде всего два наиболее важных типа: топологические и метрические пространства.
6. Топологическим пространством (см. главу XVIII) называют любую совокупность — множество каких-либо элементов — точек, где определено отношение прикосновения одной точки к множеству точек и соответственно отношение прикосновения или прилегания двух множеств (фигур) друг к другу. Это есть обобщение наглядно понятного отношения прикосновения или прилегания фигур в обычном пространстве. 152
1 лава XVII. Абстрактные пространства
Еще Лобачевский с замечательной прозорливостью указывал, что из всех отношений фигур самым основным является отношение прикосновения. «Прикосновение составляет отличительную принадлежность тел и дает им название геометрических, когда в них удерживаем это свойство, не принимая в рассуждение все другие, существенные ли то будут или случайные»1. Например, любая точка на окружности прилегает к совокупности всех внутренних точек круга; две части связного целого тела прилегают друг к другу. Как показало дальнейшее развитие топологии, именно свойства прикосновения лежат в основе всех остальных топологических свойств.
Понятие прикосновения выражает представление о бесконечной близости точки к множеству. Поэтому всякая совокупность объектов, где имеется естественное понятие о непрерывности, о бесконечном приближении, тем самым оказывается топологическим пространством.
Понятие топологического пространства является чрезвычайно общим, и учение о таких пространствах — абстрактная топология — представляет собой не что иное, как наиболее общее математическое учение о непрерывности.
Строго математическое определение общего топологического пространства может быть дано следующим образом.
Общим топологическим пространством называем множество R каких-либо элементов — «точек», если в этом множестве для каждого содержащегося в нем множества M определены точки прикосновения так, что выполнены следующие условия — аксиомы:
1) Каждая точка множества M считается его точкой прикосновения. (Вполне естественно считать, что множество прикасается к каждой своей точке.)
2) Если множество M1 содержит множество M2, то множество точек прикосновения Mi заведомо содержит все точки прикосновения M2. (Говоря короче, но менее точно, у большего множества не меньше точек прикосновения.)
К этим аксиомам добавляют обычно еще другие, определяя таким путем те или иные типы топологических пространств.
Пользуясь понятием прикосновения, легко определить ряд важнейших топологических понятий. Эти понятия являются вместе с тем наиболее основными и общими понятиями геометрии, а их определения оказываются наглядно вполне ясными. Приведем примеры.
1) Прилегание множеств. Будем говорить, что множества M1 и Mt прилегают друг к другу, если одно из них содержит хотя бы одну точку прикосновения другого. (В этом смысле, например, окружность прилегает к внутренности круга.)
2) Непрерывность, или, как говорят математики, связность фигуры. Фигура, т. е. множество точек M, связна, если ее нельзя разбить на не-прилегающие друг к другу части. (Например, отрезок связен, а отрезок без средней точки несвязен.)
1 Н. И. Лобачевский, Собрание сочинений, т. II, 1949, стр. 168. § 8. Обобщение предмета геометрии
153
3) Граница. Границей множества M в пространстве R называется множество всех точек, которые прилегают как к самому M, так и к его дополнению R — М, т. е. к остальной части пространства R. (Это, очевидно, вполне естественное понятие границы.)
