Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Мы не будем углубляться в определения возможных типов пространств; они достаточно разнообразны, и читатель может обратиться к специальной литературе по различным современным разделам геометрии.
Какой, однако, смысл в том, чтобы так расширять круг геометрических понятий? Для чего, например, нужно вводить понятие о пространстве непрерывных функций? Не достаточно ли решать задачи анализа его обычными средствами, не поднимаясь до таких абстрактных построений?
Общий ответ на этот вопрос состоит коротко в том, что, вводя в рассмотрение то или иное пространство, мы открываем путь применению геометрических понятий и методов, которые могут дать очень много.
Особенность геометрических понятий и методов состоит В том, что они основаны в конечном счете на наглядных представлениях и сохраняют, хотя бы и в абстрактной форме, их преимущества. То, чего аналитик достигает путем долгих выкладок, геометр может порой ухватить сразу. Начальный пример тому можно видеть в графике, который делает совершенно ясным ход той или иной зависимости между величинами. Геометрический метод можно характеризовать как метод синтетический, охватывающий целое, в отличие от метода аналитического. Конечно, в абстрактных геометрических теориях непосредственная наглядность исчезает, но остаются наглядные соображения по аналогии, остается синтетический характер геометрического метода.
Читатель уже знаком с применением геометрических картин в анализе, с геометрическим изображением комплексных чисел и функций от комплексной переменной, с геометрическими рассуждениями в доказательстве осно'вной теоремы алгебры и с другими применениями геометрических понятий и методов. Всюду он может заметить то, о чем мы говорим здесь в общем виде. Мы упоминали в начале § 7, а также здесь, в п. 5, примеры теорем, доказываемых посредством применения многомерной геометрии. Укажем еще один пример задачи из анализа, которая решается уже на основе применения понятия о функциональном пространстве.
В топологии доказывается, что если взять на обычной плоскости любую область, имеющую форму деформированного круга, и затем как 156
1 лава XVII. Абстрактные пространства
угодно деформировать ее непрерывным образом, так, однако, чтобы в итоге она оказалась вложенной внутрь своего первоначального контура, то хотя бы одна точка области попадает после преобразования на место, где она была раньше. Этот факт — чисто топологический.
Рассмотрим теперь совершенно далекую от геометрии проблему: разыскивается функция у (х), удовлетворяющая дифференциальному уравнению1
y' = f(x, У) (Ю)
и принимающая при X = 0 значение у= 0.
Очевидно, вместо этого уравнения можно искать решение уравнения
в
y=\f{t, y(t))dt. (И)
о
Возникает естественный вопрос, а существует ли вообще удовлетворяющая этому условию функция у(х)?
Взглянем на задачу иначе. Представим себе всякую непрерывную функцию у (X) точкой некоторого абстрактного пространства. Результат вычисления интеграла
X
J7(*> y{t))dt=z{x)
о
будет снова непрерывной функцией от х, т. е. «точкой» нашего абстрактного пространства. Беря различные «точки» у, т. е. разные функции у (х), будем получать, вообще говоря, разные точки z. Тем самым совокупность точек нашего пространства отображается снова в его же точки. Вопрос о наличии решения уравнения (11) свелся к вопросу о том, найдется ли «точка» нашего абстрактного пространства, которая после такого преобразования попадет на свое прежнее «место»?
Естественный вопрос из теории дифференциальных уравнений оказался вопросом о свойстве абстрактного функционального пространства. Аналогия с упомянутой выше теоремой подсказывает нам, что речь идет, повидимому, о топологическом свойстве соответствующего пространства.
На этом пути при помощи необходимых топологических исследований получают, пожалуй, наиболее краткие доказательства многих теорем о существовании решений дифференциальных уравнений, в частности выясняют, что уравнение (10) действительно имеет решение при любой непрерывной функции f(x, у).
1 І (xi у) предполагается непрерывной функцией переменных хну. § 9. Риманова геометрия
157
§ 9. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
1. Изложенная выше идея о том, что любую непрерывную совокупность однородных явлений можно трактовать как своего рода пространство, была впервые высказана Риманом в его лекции «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», прочитанной в Геттингенском университете в 1854 г. Это была пробная лекция, нечто вроде доклада или диссертации, которую поступающий на должность доцента или профессора должен был читать перед факультетом. В своей лекции Риман наметил в общих чертах без выкладок и математических доказательств исходные идеи обширной геометрической теории, называемой теперь римановой геометрией. Говорят, что никто из слушателей ее не понял, кроме старого уже тогда Гаусса. Формальный аппарат теории Риман изложил в другой работе в применении к задаче теплопроводности, так что абстрактная риманова геометрия рождалась в тесной связи с математической физикой. Идеи Римана были следующим после Лобачевского решающим шагом в развитии геометрии. Однако работы Римана не были сразу оценены должным образом. Его лекция и работа о теплопроводности были опубликованы лишь в 1868 г., после его смерти. Стоит отметить, что в 1868 г. появилось первое истолкование геометрии Лобачевского, данное Бельтрами, а в 1870 г. — ее второе истолкование, данное Клейном. В 1872 г. Клейн формулирует общий взгляд на различные геометрии: эвклидову, Лобачевского, проективную, аффинную и др., как на учение о свойствах фигур, не изменяющихся при преобразованиях из той или иной группы. В те же годы окончательно укрепляется в математике многомерная геометрия. Таким образом, 70-е годы XIX в. были тем переломным моментом в истории геометрии, когда новые геометрические идеи, складывавшиеся в течение предшествующих пятидесяти лет, наконец были поняты широким кругом математиков и прочно вошли в науку. Тогда работы Римана были Продолжены, а к концу прошлого столетия риманова геометрия уже достигла значительного развития и нашла приложения в механике и физике. Когда же в 1915 г. Эйнштейн в своей общей теории относительности применил риманову геометрию к теории всемирного тяготения, это привлекло к римановой геометрии особое внимание, и в результате последовало ее бурное развитие и разнообразные обобщения.
