Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Этот метод оказывается, в частности, чрезвычайно плодотворным в теории многогранников. Так, например, в § 5 главы VII (том 2) упоминалась теорема о существовании выпуклого многогранника с данной разверткой. Доказательство этой теоремы основано на рассмотрении двух «пространств»: «пространства многогранников» и «пространства разверток». Совокупность выпуклых многогранников, имеющих данное число вершин, рассматривается как своего рода пространство, где точка изображает многогранник; соответственно совокупность допустимых разверток также трактуется как некоторое пространство, где точка изображает развертку. Склеивание многогранников из разверток устанавливает соответствие между многогранниками и развертками, т. е. соответствие между точками «пространства многогранников» и «пространства разверток». Задача состоит в том, чтобы доказать, что каждой развертке отвечает многогранник, т. е. каждой точке одного пространства отвечает точка другого. Это как раз и доказывается посредством применения топологии.
Аналогично доказывается целый ряд других теорем о многогранниках, причем этот «метод абстрактных пространств» в ряде случаев (как в теореме о существовании многогранника с данной разверткой) оказывается самым простым из известных методов доказательства таких теорем. К сожалению, однако, этот метод все же довольно сложен, и мы не имеем здесь возможности дать о нем более точное представление.
Широкое применение обобщенное понятие пространства находит также в анализе, алгебре и теории чисел. Начало этого лежит в обычном представлении функций посредством кривых. Значениям одной переменной X обычно сопоставляются точки на прямой. Аналогично, значениям двух переменных сопоставляются точки на плоскости, значениям п переменных — точки в га-мерном пространстве; набор значений переменных
X1, X2,..., х„ представляют точкой с координатами X1, X2..... хп. Говорят
об «области изменения переменных» или об «области задания» функции этих переменных / (X1, Х2,..., ха)\ говорят о точках, линиях или поверхностях разрыва функции и т. п. Этот геометрический язык употребляется постоянно, и это не только способ выражения; геометрические представ- 150
1 лава XVII. Абстрактные пространства
леняя делают многие факты анализа «наглядными» по аналогии с обычным пространством и позволяют применять геометрические методы доказательства, обобщенные на га-мерное пространство.
То же имеет место в алгебре, когда речь идет об уравнениях с га-не-известными или об алгебраических функциях от га переменных. В предыдущем параграфе отмечалось, что линейное уравнение с га неизвестными определяет в га-мерном пространстве плоскость, т. таких уравнений определяют т плоскостей, а всякое их решение изображает точку, общую для всех этих плоскостей. Плоскости могут вовсе не пересекаться, пересекаться в одной точке, по целой прямой, по двумерной или вообще по некоторой А-мерной плоскости. В целом вопрос о разрешимости системы линейных уравнений изображается как вопрос о пересечении плоскостей. Этот геометрический подход имеет ряд преимуществ. Вообще, «линейную алгебру», которая объемлет учение о линейных уравнениях и линейных преобразованиях, обычно излагают в большой степени геометрически, как это сделано в главе XVI.
5. Во всех рассмотренных примерах речь шла о том, что непрерывная совокупность тех или иных объектов трактуется как своего рода пространство. Объектами этими служили цвета, состояния той или иной системы, фигуры, совокупности значений переменных. Во всех случаях объект задавался конечным числом данных, и потому соответствующее пространство имело конечное число измерений, равное числу этих данных.
Однако в начале нашего столетия в математике начали рассматривать также «бесконечномерные пространства» — совокупности таких объектов, каждый из которых не может быть задан конечным числом данных. Это прежде всего «функциональные пространства».
Мысль трактовать совокупность функций того или иного типа как своего рода пространство является одной из основных идей новой отрасли анализа — функционального анализа — и оказывается чрезвычайно плодотворной в решении многих вопросов. Читатель получит об этом представление из главы XIX, специально посвященной функциональному анализу.
Можно рассматривать пространства непрерывных функций одной или нескольких переменных. Как «пространства» рассматривают также различные классы разрывных функции, определяя расстояние между функциями тем или иным способом в зависимости от характера подлежащих решению задач. Словом, число возможных «функциональных пространств» неограничено, и фактически в математике изучают много таких пространств.
Совершенно так же можно рассматривать «пространство кривых», «пространство выпуклых тел», «пространство возможных движений данной механической системы» и т. п. В § 5 главы VII (том 2) были, например, упомянуты теоремы о том, что на всякой замкнутой выцуклой по- § 8. Обобщение предмета геометрии
151
верхности существуют по крайней мере три замкнутые геодезические и что каждые две точки соединимы бесконечным числом геодезических линий. При доказательствах этих теорем используются пространства кривых на поверхности: в первой теореме — пространство замкнутых кривых, во второй — пространство кривых, соединяющих две данные точки. В совокупности всевозможных кривых, соединяющих две данные точки, вводится своего рода расстояние, и таким путем эта совокупность превращается в пространство. Доказательство теоремы основывается па применении некоторых глубоких результатов топологии к этому пространству.
