Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Александров А.Д. -> "Математика ее содержание, методы и значение Том 3" -> 60

Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.

Александров А.Д. Математика ее содержание, методы и значение Том 3 — М.: Академия наук , 1956. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): matemateesoderjanieiznacheniet31956.djvu
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 145 >> Следующая


143

шая пирамида, очевидно, подобна исходной: все ее размеры во столько же

раз меньше, во сколько h меньше Н, т. е. они умножаются на .

Поэтому (п — 1)-мерный объем (т. е. «площадь») ее основания будет равен

,(A) = (^)-1Jt

поскольку при изменении линейных размеров (п — 1)-мерной фигуры в \ раз, ее объем умножается на X"-1.

Объем всей пирамиды согласно формуле (9). равен

н

F = J' s(h)dh, о

откуда

о о

т. е. объем га-мерной пирамиды равен -й произведения «площади»

[(л — 1)-мерного объема] основания на высоту. При п, равном 2 или 3, получаем, как частные случаи, известные результаты: площадь (двумерный объем) треугольника равна половине произведения основания на высоту, а объем трехмерной пирамиды — одной трети произведения площади основания на высоту.

Шар можно приближенно представить как составленный из очень узких пирамид с общей вершиной в центре шара. Высоты этих пирамид равны радиусу R, а из площадей их оснований а{ складывается приближенно вся поверхность шара S. Так как объем каждой пира-

миды равен то, складывая эти объемы, получим для объема

шара

V^-R Vff.tt-RS.

п ^^ ' п

В пределе это дает точную формулу: V = — RS, т. е. объем шара равен -й произведения радиуса на его поверхность. Для п, равного 2 или 3, эта связь широко известна1.

Отметим важное свойство шара, доказываемое для и-мерного пространства, вообще говоря, буквально так же, как для трехмерного: среди всех тел данного объема наименьшую площадь поверхности имеет шар и только шар.

1 Вычисление объема шара можно осуществить также, применяя формулу (9); сечения »-мерного шара будут (п— 1)-мерными шарами, и потому объем п-мерного-шара вычисляется переходом от и—1 к га. 144

1 лава XVII. Абстрактные пространства

.7. Мы ограничивались пока элементарной геометрией га-мерного ¦пространства, но в нем можно развивать также^ «высшую» "геометрию, например, общую теорию кривых и поверхностей. В га-мерном пространстве поверхности могут быть разного числа измерений: одномерные «поверхности», т. е. кривые, Двумерные поверхности, трехмерные, ..., и, наконец, (га — 1)-мерные поверхности. Кривую можно определить как геометрическое, место точек, координаты которых непрерывно зависят от какой-либо переменной — параметра t

Xx=Xl(V), .? = X2 (?), ..., xn = xn(t).

Кривая есть как бы траектория движения точки в га-мерном пространстве с изменением t. Если наше пространство служит для изображения состояний какой-либо физической системы, как об этом говорилось в п. '4, то кривая изображает непрерывную последовательность состояний или ход изменения состояния в зависимости от параметра-ї (например, времени). Это обобщает обычное графическое изображение процесса изменения состояний посредством кривых.

С^каждой точкой, кривой в re-мерном пространстве! связывают.не только касательную («одномерную соприкасающуюся плоскость»), но и соприкасающиеся плоскости всех измерений от 2 до п — 1. Скорость вращения каждой из этих плоскостей по отношению к скорости прохождения длины кривой дает соответствующую кривизну. Таким образом, кривая имеет п — 1 соприкасающуюся плоскость, от одномерной до (п — 1)-мерной, и соответственно п — 1 кривизну. Дифференциальная геометрия в re-мерном пространстве оказывается гораздо более сложной, чем в трехмерном. На теории поверхностей мы не имеем возможности останавливаться.

До сих пор речь шла об re-мерной геометрии, обобщающей непосредственно обычную эвклидову геометрию. Но мы уже знаем, что, .кроме эвклидовой геометрии, существует еще геометрия Лобачевского, проективная геометрия и др. Эти геометрии так же легко обобщаются на любое число измерений.

§ 8. ОБОБЩЕНИЕ ПРЕДМЕТА ГЕОМЕТРИИ

1. Говоря в предыдущем параграфе о реальном смысле ге-мерного пространства, мы вплотную подошли к вопросу об обобщении предмета геометрии, к вопросу об общем понятии пространства в математике. Но прежде, чем дать соответствующие общие определения, рассмотрим •еще ряд примеров.

Опыт показывает, что нормальное человеческое зрение, как это впервые отметил еще М. В. Ломоносов, трехцветно, т. е. всякое цветовое ощущение — цвет Ц — есть комбинация трех основных ощущений: § 8. Обобщение предмета геометрии

145

красного К, зеленого 3 и синего С, с определенными интенсивностями1. Обозначая эти интенсивности в некоторых единицах через х, у, г, можно написать, что Ц=хКуЗzC. Подобно тому, как точку можно двигать в пространстве вверх и вниз, направо и налево, вперед и назад, так и ощущение цвета — цвет Ц — может непрерывно изменяться в трех направлениях с изменением составляющих его частей красного, зеленого и синего. По аналогии можно поэтому сказать, что совокупность всевозможных цветов есть «трехмерное цветовое пространство». Интенсивности х, у, z играют роль координат точки — цвета Ц. (Важное отличие от обычных координат состоит в том, что интенсивности не могут быть отрицательными. Когда x=y=z= 0, получаем совершенно черный цвет, отвечающий полному отсутствию света.)

Непрерывное изменение цвета можно изображать как линию в «пространстве цветов»; такую линию образуют, например, цвета радуги; цветовую линию представляет также ряд ощущений, вызываемых предметом однородной окраски при непрерывном изменении яркости освещения. В этом случае меняется только интенсивность ощущения, его «цветность» остается неизменной.
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed