Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Непрерывные изменения состояния, т. е. процессы, происходящие в системе, изображаются линиями в этом пространстве. Отдельные области состояний, выделяемые по тем или иным признакам, будут областями фазового пространства. Состояния, пограничные для двух областей, образуют поверхности в этом пространстве.
В физической химии особенно важно изучить форму и взаимное прилегание тех областей фазового пространства системы, которые соответствуют качественно различным состояниям. Поверхности, разделяющие эти области, соответствуют таким качественным переходам, как плавление, испарение, выпадение осадка и т. п. Состояние системы с двумя степенями свободы изображается точкой на плоскости. Примером может служить однородное вещество, состояние которого определяется давлением р и температурой Т; они и служат координатами точки, изображающей состояние. Тогда дело сводится к линиям раздела областей, ответ чающих качественно различным состояниям. В случае воды, например, такими областями будут области льда, жидкой воды и пара (рис. 30). Линии их раздела отвечают плавлению (затвердеванию), испарению (конденсации), возгонке льда (выпадению кристаллов льда из пара).
При изучении систем со многими степенями свободы требуются методы многомерной геометрии.
Понятие фазового пространства применяется не только к физико-химическим, но также к механическим системам, и вообще оно может применяться к любой системе, если ее возможные состояния образуют некоторую непрерывную совокупность. В кинетической теории газов
10* 148
1 лава XVII. Абстрактные пространства
рассматривают, например, фазовые пространства системы материальных частиц — молекул газа. Состояние движения одной частицы в каждый момент определяется ее положением и скоростью, что дает всего шесть величин: три координаты и три составляющие скорости (по трем осям координат). Состояние N частиц задается 6N величинами, и так как молекул очень много, то 6N — огромное число. Это нимало не смущает физиков, говорящих о бТУ-мерном фазовом пространстве системы молекул.
Точка в этом пространстве изображает состояние всей массы молекул с их координатами и скоростями. Движение точки изображает изменение состояния. Такое абстрактное представление оказывается очень полезным во многих глубоких теоретических выводах. Словом, понятие фазового пространства прочно вошло в арсенал точного естествознания и применяется в разнообразных вопросах.
3. Приведенные примеры позволяют уже придти к выводу о том, как обобщается предмет геометрии.
Пусть мы исследуем какую-либо непрерывную совокупность тех или иных объектов, явлений или состояний, например совокупность всевозможных цветов или совокупность состояний группы молекул. Отношения, имеющиеся в такой совокупности, могут оказаться сходными с обычными пространственными отношениями, как «расстояние» между цветами или «взаимное расположение» областей фазового пространства. В таком случае, отвлекаясь от качественных особенностей изучаемых объектов и принимая во внимание только эти отношения между ними, мы можем рассматривать данную совокупность как своего рода пространство. «Точками» этого «пространства» служат сами объекты, явления или состояния. «Фигурой» в таком пространстве будет любая совокупность его точек, как, например, «линия» цветов радуги или «область» пара в «пространстве» состояний воды. «Геометрия» такого пространства определяется как раз теми пространственно-подобными отношениями, которые имеются между данными объектами, явлениями или состояниями. Так, «геометрия» цветового пространства определяется законами смешения цветов и расстояниями между цветами.
Реальное значение такой точки зрения состоит в том, что она дает возможность использовать понятия и методы отвлеченной геометрии для изучения разнообразнейших явлений. Область применения геометрических понятий и методов расширяется, таким образом, чрезвычайно, В результате обобщения понятия пространства термин «пространство» получает в науке два значения: с одной стороны, это обычное реально« простріанство — универсальная форма существования материи, с другом стороны, это «абстрактное пространство» — совокупность однородных объектов (явлений, состояний и т. п.), в которой имеются пространственно-подобные отношения.
Стойт заметить, что обычное пространство, как мы его себе несколько упрощенно представляем, тоже можно понимать как совокул § 8. Обобщение предмета геометрии
149
ность однородных состояний. Именно, его можно понимать как совокупность всех возможных положений предельно малого тела — «материальной точки». Это замечание не претендует на то, чтобы дать определение пространства, но имеет делью сделать более ясной связь двух понятий пространства. Понятие абстрактного пространства мы еще поясним ниже, об отношении же абстрактной геометрии к обычному реальному пространству речь будет идти в последнем параграфе этой главы.
4. Наиболее широкое применение понятие абстрактного пространства находит в самой математике. В геометрии рассматривают «пространство» тех или иных фигур, как, например, «пространство шаров», о котором уже шла речь, «пространство прямых» и т. п.
