Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
4) Внутренняя точка. Точка множества M называется внутренней, если она не лежит на его границе, т. е. если она не прилегает к его дополнению R — М.
5) Непрерывное отображение или преобразование. Преобразование множества M называется непрерывным, если оно не нарушает прикосновений. (Едва ли можно дать более естественное определение непрерывного преобразования.)
К этому списку можно было бы добавить еще другие важные определения, как, например^ определение понятия сходимости последовательности фигур к данной фигуре или понятие о числе измерений пространства.
Мы видим, что через прикосновение определяются наиболее основные геометрические понятия. Значение топологии, в частности, состоит в том, что она дает этим понятиям строгие общие определения, дает основание для строгого применения соображений, связанных с наглядно понимаемой непрерывностью.
Топология есть учение о тех свойствах пространств, фигур в них и их преобразований, которые определяются отношением прикосновения.
Общность и фундаментальность этого отношения делает топологию наиболее общей геометрической теорией, проникающей в различные области математики — всюду, где только речь идет о непрерывности. Но точно так же в силу своей общности топология в своих наиболее абстрактных отделах уже выходит за рамки собственно геометрии. И все-таки в основе ее лежит обобщение свойств реального пространства, и наиболее плодотворные и сильные ее результаты связаны с применением методов, имеющих источник в наглядных геометрических представлениях. Таков, например, метод приближения общих фигур многогранниками, развитый П. С. Александровым и распространенный им, хотя и в абстрактной форме, на чрезвычайно общие типы топологических пространств.
Сейчас любой специалист, какие бы объекты он ни исследовал, обнаружив, что для них естественным образом вводится понятие близости, прилегания, немедленно получает в свои руки уже готовый, тонко разветвленный аппарат топологии, позволяющий делать выводы, далеко не тривиальные даже в их частных проявлениях.
7. Метрическим пространством называется множество каких-либо элементов — точек, между которыми определено расстояние, т. е. каждой паре точек X, Y отнесено число r(X, Y) так, что выполнены следующие условия — аксиомы метрического пространства:
1) г(Х, У) = 0 тогда и только тогда, когда точки X, У совпадают. 154
1 лава XVII. Абстрактные пространства
2) Для любых трех точек X, Y, Z
г(Х, У)+ г (У, Z)>r(Z, X).
Это условие называется «неравенством треугольника», поскольку оно вполне аналогично известному свойству обычного расстояния между точками A1, A2, A3 эвклидова пространства (рис. 31):
г (A1, A2)+ г(A2, A3)^r(A3, A1).
Примерами метрических пространств могут служить:
1) эвклидово пространство любого числа измерений п,
2) пространство Лобачевского,
3) любая поверхность с ее внутренней метрикой (том 2, глава
VII, § 4),
4) пространство С непрерывных функций с расстоянием, определенным по формуле
r (А> /2) = max IZ1 (х) — /2 (х) I,
Рис. 31. 5) описываемое в главе XIX гиль-
бертово пространство, которое есть не что иное, как «бесконечномерное эвклидово» пространство.
Гильбертово пространство является важнейшим из пространств, применяемых в функциональном анализе; оно тесным образом связано с теорией рядов Фурье и вообще с теорией разложения функций в ряды по ортогональным функциям (координаты X1, х2, х3, ... оказываются здесь коэффициентами таких рядов). Это пространство играет важную роль в математической физике и приобрело большое значение в квантовой механике. Оказывается, что совокупность всевозможных (не только стационарных) состояний какой-либо атомной системы, например атома водорода, с абстрактной точки зрения может рассматриваться как гильбертово пространство.
Число примеров метрических пространств, фактически рассматриваемых в математике, можно было бы еще значительно умножить; кстати, в следующем параграфе мы познакомимся с одним важным классом метрических пространств, называемых римановыми, но и приведенных пока примеров достаточно, чтобы видеть широту объема общего понятия метрического пространства.
В метрическом пространстве всегда можно определить все топологические понятия, а сверх того ввести также другие — «метрические» понятия. Таково, например, понятие длины кривой. Длина определяется в любом метрическом пространстве буквально так же, как обычно, и основные ее свойства при этом сохраняются. Именно, под длиной кривой понимают предел сумм расстояний между точками, последовательно расположенными на кривой X1, X2, ..., Xn, при условии, что эти точки располагаются на кривой все гуще и гуще. § 8. Обобщение предмета геометрии
155
8. В математике рассматривают многие типы пространств помимо общих топологических или метрических. С целым классом таких пространств мы уже, собственно говоря, познакомились в § 6. Это прот странства, в каждом из которых задана какая-либо группа преобразований (например, пространства проективное и аффинное). В таких пространствах можно определить «равенство» фигур. Фигуры «равны», если они переводятся одна в другую преобразованием из данной группы.
