Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
JJ [FtlxTlx + FllyTly] dx dy =
в
=I ITi ^+і (jM ^ Я H F«°+і ^J ^dxdy=
в H
=J [F„x cos (я, я) 4- Fny cos (и, у)] rids — JJ [+ Fttx + J ndxdy. г в
Контурный интеграл по I должен исчезнуть, так как на контуре I функция 7з равна нулю, и условию (24) мы можем придать форму
\\[FU-I Fu Fu^dxdy = O.
в
Это равенство ДОЛЖНО быть выполнено ДЛЯ ВСЯКОЙ функции 7), непрерывно дифференцируемой и обращающейся в нуль на границе I. 168
Глава VIJJ. Вариационное исчисление•
Отсюда, подобно предыдущему, можно заключить, что во всех точках области В должно быть выполнено уравнение
^--?^-?-** = 0- (25)
Таким образом, если функция и дает минимум интегралу (23), то она должна удовлетворять уравнению (25) в частных производных.
Как и во всех предшествующих задачах, здесь устанавливается связь между вариационной проблемой о минимуме интеграла и граничной задачей дифференциального уравнения (в данном случае — уравнения в частных производных).
Пример. Отклонение и (х, у) точек мембраны с деформированным краем должно быть найдено из условия минимума потенциальной энергии
"Т Jj Im-* + uI] dxdy
при заданных граничных значениях =
Опуская для простоты постоянный множитель [;., можно считать
F ^ у(и*4-г4)>
и уравнение (25) будет иметь вид
д д л
uV = 0'
или
. д*и , д* и -
АИ== ^2+-^-=0-
Следовательно, определение отклонений точек мембраны приводится к нахождению гармонической функции и, принимающей на контуре области заданные значения <р (см. главу VI, § 3).
§ 3. МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Мы закончим настоящую главу указанием на идеи некоторых приближенных методов вариационного исчисления.
Для определенности будем говорить о простейшем функционале
Ну) = \F(x, у, у') dx
при закрепленных граничных значениях допустимых функций.
Пусть у (х) есть точное решение задачи о минимуме I, а т = 1 (у) — соответствующее минимальное значение интеграла. Ясно, что если мы § 3. Методы приближенного решения задач
169
укажем допустимую функцию у, для которой значение интеграла I (у) весьма близко к т, то можно рассчитывать, что и у будет мало отличаться от точного решения у. Кроме того, если нам удастся построить последовательность допустимых функций ух, у2,..., для которых 1(уя)~*¦ т, то можно ожидать, что такая последовательность будет сходиться к решению у в том дли ином смысле, и, стало быть, вычисляя у„ достаточно большого индекса, мы сможем найти решение со сколь угодно высокой степенью точности.
В зависимости от того, какое правило мы избираем для построения «минимизирующей последовательности» у„ (п=1, 2,...), мы будем получать тот или иной приближенный метод вариационного исчисления.
Первым по времени приближенным методом является метод ломаных линий, или метод Эйлера. Разделим отрезок [Jc1, х2] на некоторое число частей. Например, выберем эти части одинаковыми, так что точки деления будут
X1, X1 -f- h, X1 -f- 2h,..., X1 -f- nh = х2, h=zX*~Xl .
Построим теперь ломаную линию j с вершинами, лежащими над точками деления. Ординаты вершин ее обозначим
Ь0, Ь1г b2,..., b„_v bn
и при этом потребуем, чтобы она имела те же конец и начало, что и все допустимые линии, так что Ьй = ух и Ьп = у2. Тогда ломаная линия будет определяться ординатами
> Ь2,.. .,
Вопрос теперь заключается в том, как следует подобрать ломаную р (т. е. ординаты bf ее вершин), чтобы по возможности хорошо приблизиться к точному решению задачи.
Для достижения этой цели естественно поступить так. Вычислим интеграл I для ломаной линии. Значение его будет зависеть от Ь{
I - Ф (blt b2,..., bn_j)
и будет функцией этих ординат. Выберем теперь Ь( так, чтобы придать / {р„—j) минимальное значение. Для определения всех 6,- мы будем иметь систему уравнений
/(Ai) = 0 (1 = 1,2,...,11-1).
Так как к любой допустимой линии, в частности, к точному решению задачи, можно приблизиться при помощи ломаных линий сколь угодно близко не только по положению на плоскости, но и по направлениям касательных, то совершенно ясно, что полученная в результате вычислений последовательность ломаных линий р„_г будет, наверное, мини- 370
Глава VIJJ. Вариационное исчисление•
мизирующей. Взяв п достаточно большим, мы можем надеяться приблизиться к решению сколь угодно точно на всем отрезке [Xj, х2]. Разумеется, факт сходимости должен быть исследован в каждом случае.
Весьма широкое распространение в физике и технике получил также следующий, очень удобный по вычислениям, метод.
Возьмем любую функцию <р0 (х), удовлетворяющую граничным условиям <р0 (X1) = ^1 и %(х2) = у2, и последовательность функций <Pj(x), (P2(X),..., обращающихся в нуль на концах отрезка [Jc1, х2]. Образуем затем линейную комбинацию
М®) = <Po (я) + 0-1 Ь (*) + ¦¦ - + ??" (*)•
При любых значениях численных коэффициентов а3, а2,..., «„функция -Sn (х) будет допустимой.
Подставив Sn (х) вместо у в интеграл I и выполнив все необходимые вычисления, мы получим некоторую функцию коэффициентов cli.
