Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
_ aO + «і* + • • - + а»г"
Ь0 + &12 + • • • + ъ„,*т '
дифференцируема во всех точках, где знаменатель не равен нулю.
Чтобы убедиться в дифференцируемости функции W = e", можно использовать условия Коши—Римана. В нашем 6(лучае на основании формулы (20)
и = ех cos у, V = ех sin у,
подстановка этих функций в (24) показывает, что уравнения Коши— Римана удовлетворяются. Производная может быть вычислена, например, по формуле (22). Это дает
dw _ ,
dz
На основании формул (17) легко убедиться в дифференцируемости тригонометрических функций и в применимости известных из анализа формул для значения их производных.
Функция Ln гг. Мы не будем здесь проводить исследования всех элементарных функций комплексного переменного. Однако для нас важно будет познакомиться еще со свойствами функции Lnz. Так же как в действительной области, полагаем
W = Lnz,
если
z = e".
Чтобы проанализировать функцию Lnz, запишем число z в тригонометрической форме
Z =:г (cos <р-j- г sin (р).
Применяя теорему сложения к е'°, получим
z = ea = e"+iv = є"е" = е" (cos V + г sin v).
Сравнение двух полученных выражений для z дает
f = r, (а)
cos V 4- і sin V = cos® -j- г sin f. (fe) ¦182
Глава IX. Функции комплексного переменного
Имея в виду, что и и г -
-действительные числа, из формулы (а) выводим
U = Inr,
где Inr — обычное значение натурального логарифма действительного числа. Равенство (?) может выполняться только в случае, если
COS v = COS f, sin v = sin <p,
а для этого V и <p должны отличаться на число, кратное 2-к,
f = (р —(— 2тг/г, причем при любом целом п равенство ((J) будет выполняться. На основании полученных выражений для и и v
Ln z = In г -f і (<р + 2гл). (25)
Формула (25) определяет функцию Lnz для всех значений комплексного числа z, отличных от нуля. Она дает определение логарифма не только для положительвых, рис 4 но и для отрицательных и комплекс-
ных чисел.
Полученное выражение для функции Lnz содержит произвольное целое число п. Это значит, что Lnz есть многозначная функция. При любом значении п получаем одно из возможных значений функции Ln z. Если мы фиксируем значение п, то получим одно из возможных значений этой функции.
Однако различные значения Lnz, оказывается, органически связаны между собой. В самом деле, фиксируем, например, в точке Z0 значение п = 0. Пусть теперь z непрерывно движется по замкнутой кривой С, окружающей начало координат и возвращающейся в точку Z0 (рис. 4). При движении z полярный угол (f будет непрерывно возрастать и, после того как точка z пройдет весь замкнутый контур, у увеличится на 2тс. Таким образом, фиксировав в Z0 значение логарифма
(Lnz)0 = Inr0-J-Iip0
и изменяя это значение непрерывно при движении z вдоль замкнутой кривой, окружающей начало координат, мы вернемся в точку Z0 с другим значением функции
(Ln z)0= In re + і (<р0 + 2тг).
Это убеждает нас в том, что можно непрерывным образом перейти от любого значения Lnz к другому. Для этого надо, чтобы точка непрерывным образом обошла начало координат нужное число раз. Точка z = 0 называется точкой ветвления для функции Lnz. § 2. Связь с задачами математической физики
183
Если мы хотим ограничиться рассмотрением лишь одного значения функции Ln z, мы должны запретить точке z описывать замкнутые кривые, окружающие точку Z = 0. Это можно сделать, проведя из начала координат в бесконечность непрерывную линию и запретив точке z пересекать эту линию, называемую разрезом. Если z будет изменяться в плоскости с разрезом, то уже нельзя получить непрерывного перехода от одного значения Lnz к другому, и, исходя из определенного значения логарифма в какой-нибудь точке Z0, мы в каждой точке получим лишь одно значение логарифма. Такое выделенное значение функции Lnz называется ее однозначной ветвью.
Например, если разрез проведен вдоль отрицательной части оси Ох, мы получим однозначные ветви Ln z, ограничивая изменение аргумента в пределах
(2A — 1)тг <9 <(2*+ 1)1т,
где А — произвольное целое число.
Рассматривая однозначную ветвь логарифма, мы можем изучить его дифференцируемость. Полагая
г= Sfx2-Jr у2, <p = arctg-j,
легко проверить, что Lnz удовлетворяет условиям Коши — Римана, а производная, вычисленная, например, по формуле (22), будет равна
d Ln Z_ 1
dz Z
Подчеркнем, что производная Lnz уже есть однозначная функция,
§ 2. СВЯЗЬ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО С ЗАДАЧАМИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Связь с задачами гидродинамики. Условия Коши — Римана связывают между собой задачи математической физики и теорию функций комплексного переменного. Проиллюстрируем это на задачах гидродинамики.
Среди всех возможных движений жидкой среды важпую роль играют установившиеся движения. Так называются движения жидкости, для которых не меняется со временем картина распределения скоростей в пространстве. Так, например, наблюдатель, стоящий на мосту и наблюдающий за обтеканием мостового быка рекой, видит установившуюся картину обтекания. Иногда течение становится установившимся для наблюдателя, движущегося вместе с некоторым телом. Если при движении парохода за возмущенным движением воды будет наблюдать человек, стоящий на берегу, то для него картина движения воды не будет установившейся, но для наблюдателя, находящегося на пароходе, течение воды уже будет установившимся. Для пассажира, ¦184
