Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
165
циальных уравнений: на отрезке [X1, х2\ нужно найти решение у, z системы дифференциальных уравнений (21), удовлетворяющее граничным условиям (19).
Как и в прежнем случае, это открывает один из возможных путей для решения поставленной минимальной задачи.
В качестве примера приложения эйлеровой системы (21) рассмотрим вариационный принцип Остроградского — Гамильтона в ньютоновой механике. Ограничимся простейшей формой этого принципа.
Возьмем материальное тело массы т и будем считать, что размерами и формой тела мы можем пренебрегать и принимать его за материальную точку.
Допустим, что из положения M1 (X1, yv Z1), которое точка занимает в момент времени I1, она к моменту времени t2 переместилась в положение M2 (х2, у2, Z2). Предположим, что движение было подчинено законам механики Ньютона и происходило под действием силы F(x, у, z, t), зависящей от положения точки и времени t и имеющей потенциальную функцию U (х, у, z, t). Последнее означает следующее: составляющие Fx, Fy, Fz силы F по осям координат будут частными производными от некоторой функции U по соответствующим координатам
F —5L F —*?. F — W-
х— дх ' У— ду ' dz '
Движение считаем свободным, не подчиненным никаким ограничивающим связям1.
Уравнения движения Ньютона будут
(Рх__ du_ д?у _ dU_ d?z__dU_
т dt2 — дх ' т dt* ~ ду ' т dfi ~ dz '
Следуя законам механики Ньютона, точка совершит перемещение вполне определенным способом. Наряду с «ньютоновским движением» точки мы будем рассматривать другие ее движения, которые коротко будем называть «допустимыми». Их мы определим двумя требованиями: в момент времени tY точка занимает положение M1 и в момент t2 — положение M2.
Как можно отличить «ньютоновское движение» точки от всякого другого «допустимого» ее движения? Такую возможность и дает принцип Остроградского — Гамильтона.
Введем кинетическую энергию точки
Г =-im (ж'2 + ?/'2 +z'2)
1 Для принципа Остроградского — Гамильтона это несущественно: на механическую систему могут быть наложены любые, даже нестационарные связи, лишь бы
они были голономными, т. е. могли быть записаны в форме уравнений, не содержащих производных от координат по времени. 166
Глава VIJJ. Вариационное исчисление•
л составим так называемый интеграл действия
I = j (Т -f- U) dt. t.
Содержание принципа таково: «ньютоновское движение» точки ЯШ личается OT ВСЯКОГО ее «допустимого» движения тем, ЧТО ОНО ДОСТЧн ляет интегралу действия стационарное значение.
Интеграл действия I зависит от трех функций: x(t), y{t), z(t).
Так как во всех сравниваемых движениях начальное и конечное положения точки одинаковы, граничные значения этих функций являются закрепленными. Мы имеем здесь вариационную задачу с тремя варьируемыми функциями, имеющими фиксированные значения на концах промежутка [J1, J2].
Выше мы условились говорить, что интеграл (17) имеет стационарное значение на некоторой линии, если она является интегральной линией уравнения Эйлера. В нашей задаче интегрируемая функция
F=T+U=±m (X'2 + у'2 + z'2) + U (х, у, 2, J)
зависит от трех функций и для стационарного значения интеграла должна выполняться система трех дифференциальных уравнений
Так как Fx = , Fx>=mxf,..., то система уравнений Эйлера будет совпадать с уравнениями движения в механике Ньютона. Этим справедливость высказанного принципа установлена.
Задача о минимуме кратного интеграла. Последняя задача вариационного исчисления, на которой мы задержим внимание читателя, — это задача о минимуме кратного интеграла. Так как факты, связанные с решением таких задач, сходны для интегралов любой кратности, мы остановимся на наиболее простом из кратных интегралов—двойном интеграле.
Пусть В есть область плоскости Оху, ограниченная контуром I. Множество допустимых к сравнению функций определим условиями:
1) и (х, у) непрерывно дифференцируема в области В,
2) и на I принимает заданные значения
в I, = /(Jf). (22) § 2. Дифференциальные уравнения вариационного исчисления
167
Среди всех функций и нужно найти ту, которая дает минимальное значение интегралу
/(и) =Jji^ (х, у, и, их, Uy) dx dy. (23)
в
Задание граничных значений (22) дЛя функции и в пространстве (х, у, и) означает задание пространственного контура Г, лежащего над I (ем. рис. 2 на стр. 155).
Мы рассматриваем всевозможные поверхности S, проходящие через Г и лежащие над В. Среди них хотим найти ту, для которой интеграл (23) будет минимальным.
Попрежнему считаем функцию, дающую минимум интегралу, существующей; обозначим ее через и. Одновременно рассмотрим другую функцию
й= и-f-ОСТ) (я, у),
где 7з (х, у) — любая непрерывно дифференцируемая функция, обращающаяся в нуль на I. Тогда функция
/(и) =JJz?(я, у, и+ Xy;, UxSrCLyix, uy-\-<y.fi4)dxdy = <S>{a.) в
должна иметь минимум при а = 0. В таком случае первая производная от нее должна обращаться в нуль при а = 0
Ф'(0) = 0,
или
Jf [F11T1 -f FnxTlx + FnyTltl) dx dy = 0. • (24)
в
Преобразуем два последние слагаемые при помощи формулы Остроградского.
