Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
В задаче о положении 'равновесия мембраны функционалом являлась потенциальная энергия (7) деформированной мембраны, и мы должны были найти ее минимум на множестве функций и (х, у), удовлетворяющих граничному условию (8).
Каждый функционал определяется двумя факторами: множеством M элементов х, на котором он задан, и тем законом, по которому каждому элементу X ставится в соответствие число (значение функционала). Методы разыскания наибольших и наименьших значений функционалов несомненно должны зависеть от свойств множества М.
Вариационное исчисление является частной главой теории функционалов. В нем рассматриваются функционалы, заданные на множествах функций, и задачей вариационного исчисления является построение теории экстремумов таких функционалов.
Особенно большое значение эта ветвь математики приобрела после того, как была установлена ее связь с многими] отделами физики и механики. Причину этого можно видеть в следующем. Как будет выяснено ниже, для того чтобы функция давала экстремум фупкцио-налу, необходимо, чтобы она удовлетворяла некоторому дифференциальному уравнению. С другой стороны, как уже говорилось в главах, посвященных дифференциальным уравнениям, весьма часто количественные законы механики и физики также записываются в форме дифференциальных уравнений. Как оказалось, многие уравнения такого рода являются вместе с тем и дифференциальными уравнениями вариационного исчисления. Это дало возможность уравнения механики и физики рассматривать как условия экстремумов соответствующих функционалов и физические законы, высказывать в форме требования экстремума, в частности минимума, некоторых величин.'] Последнее позволило ввести в механику и физику новые точки зрения путем замены тех или иных физических законов равносильными им «минимальными принципами». Вместе с тем это открыло также новые пути решения, точного или - приближенного, физических] задач при помощи разыскания минимумов соответствующих функционалов.
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Дифференциальное уравнение Эйлера. Напомним читателю, что необходимым условием существования у дифференцируемой функции / экстремума в некоторой точке х является равенство нулю производной 158
Глава VIJJ. Вариационное исчисление•
f в этой точке: /(ж) = 0, или, что то же самое, равенство нулю дифференциала функции df = f(x)dx = 0.
Нашей ближайшей целью будет найти аналог этого условия в вариационном исчислении и выяснить, какому необходимому требованию должна удовлетворять функция, дающая экстремум функционалу.
Мы покажем, что такая функция должна удовлетворять некоторому дифференциальному уравнению. Форма уравнения будет зависеть от вида рассматриваемого функционала. Изложение мы начнем с так называемого простейшего интеграла вариационного исчисления, под которым подразумевают функционал, имеющий следующее интегральное представление:
l(y) = \F{z,y,y')dx. (9)
Функция F, стоящая под знаком инте-
I__І а, грала, зависит от трех аргументов (х, у, у'),
О xI хг Будем считать ее определенной и дваж-
Рие. 3. ды непрерывно дифференцируемой по аргу-
менту г/' для всех значений, по аргументам же X ж у — в некоторой области В плоскости Oxy. Ниже предполагается, что мы всегда будем находиться внутри этой области.
Под у понимается некоторая функция от х
У = У{х), (10}
непрерывно дифференцируемая на отрезке X1 ^ хи у' есть производная от нее.'
Геометрически функцию у (х) можно изобразить в плоскости Oxy некоторой линией I, лежащей над отрезком [X1, ж2] (рис. 3).
Интеграл (9) является обобщением интегралов (3) и (6), с которыми мы встретились в задачах о линии наискорейшего ската и поверхности вращения наименьшей площади. Значение его зависит от выбора функции у (х) или от линии I, и задача о его минимуме имеет следующий смысл.
Дано некоторое множество M функций (10) (линий /). Среди них нужно найти ту функцию (линию /), для которой интеграл I (у) имеет наименьшее значение.
Мы должны прежде всего точно определить множество M функций, для которых мы будем рассматривать значение интеграла (9). Функции этого множества в вариационном исчислении обычно называют допустимыми к сравнению. Рассмотрим задачу с закрепленными граничными значениями. Множество допустимых функций определяется здесь двумя следующими требованиями:
1) у (х) непрерывно дифференцируема на отрезке [ж,, х2]; § 2. Дифференциальные уравнения вариационного исчисления
159
2) на концах отрезка у (х) принимает заданные наперед значения У(Хі) = Уі, 2/(?) = ^ (11)
В остальном функция у(х) может быть совершенно произвольной. Если говорить языком геометрии, мы рассматриваем всевозможные гладкие линии, лежащие над промежутком [xv х2], которые проходят через две точки A (X1, уг) и В(х2, у2) и могут быть заданы уравнением (10). Функцию, доставляющую минимум интегралу, будем считать существующей и назовем ее у (х).
Следующие простые и остроумные соображения, часто применяемые в вариационном исчислении, дают возможность весьма просто выяснить необходимое условие, которому должна удовлетворять у(х). По сути дела они позволяют задачу о минимуме интеграла (9) привести к задаче о минимуме функции.
