Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Глава IX. Функции комплексного переменного
сидящего в самолете, который летит с постоянной скоростью, возмущенное самолетом движение воздуха тоже будет установившимся.
При установившемся движении вектор скорости V частицы жидкости, проходящей через заданную точку пространства, не меняется со временем. Если движение — установившееся для движущегося наблюдателя, то вектор скорости не будет меняться со временем в точках, имеющих постоянные координаты в системе координат, (движущейся вместе с наблюдателем.
Среди движений жидкости большое значение получил класс плоско-параллельных движений. Это — течения, при которых скорости частиц всюду параллельны некоторой плоскости, а картина распределения скоростей одинакова во всех плоскостях, параллельных заданной плоскости.
Если мы представим себе беспредельную массу жидкости, обтекающую цилиндрическое тело перпендикулярно его образующей, то во всех плоскостях, перпендикулярных образующей, картина распределения скоростей будет одинакова и движение жидкости будет плоскопараллельным. Иногда движение жидкости можно приближенно рассчитывать как [плоскопараллельное. Например, если мы хотим определить картину скоростей течения воздуха в плоскости, перпендикулярной крылу самолета, то в случае, когда эта плоскость расположена не очень близко к фюзеляжу или к концу крыла, движение воздуха можно приближенно считать плоскопараллельным.
Покажем, как может быть применена теория функций комплексного переменного к изучению установившихся плоскопараллельных течений жидкости. При этом мы будем считать, что жидкость несжимаема, т. е. что ее плотность не меняется с изменением давления. Таким свойством обладает, например, вода, но оказывается, что даже воздух можно при изучении его движений считать несжимаемым, если скорости движения не очень велики. Гипотеза о несжимаемости воздуха не вносит заметных искажений, если скорости движения не превосходят 0,6—0,8 от скорости звука (с = 330 м/сек).
Течение жидкости характеризуется распределением скоростей ее частиц. Если течение плоскопараллельное, то достаточно знать скорости частиц в одной из плоскостей, параллельно которым происходит движение.
Будем обозначать через V(х, у, t) вектор скорости частицы, проходящей через точку с координатами х, у в момент времени t. В рассматриваемом случае установившегося движения V не зависит от времени. Вектор V будем считать заданным его проекциями и и v по осям координат. Рассмотрим траектории частиц жидкости. В случае установившихся движений траектории частиц, исходящих из заданных точек пространства, не будут меняться со временем. Если известно поле скорости, т. е. известны компоненты скорости как функции х, у, § 2. Связь с задачами математической физики
185
то траектории частиц можно определить, пользуясь тем, что скорость частицы всегда касательна к траектории. Это дает
dy _ v(x, у)
dx и (х, у) '
Полученное уравнение есть дифференциальное уравнение для траекторий. Траектории частиц установившегося движения носят название ланий тока. Через каждую точку плоскости движения проходит одна линия тока.
Важную роль играет понятие функции тока. Фиксируем какую-нибудь линию тока C0 и рассмотрим воображаемый канал, ограниченный цилиндрическими поверхностями (с образующей, перпендикулярной плоскости течения), проведенными через линию тока C0 и другую линию тока C1, и двумя плоскостями, параллельными плоскостям движения и отстоящими одна от другой на расстоянии, равном единице (рис. 5). Если мы рассмотрим два произвольных поперечных сечения нашего канала, определенных сечениями Yi и Уг» то количество жидкости, протекающее через сечения Yi и Тг в единицу времени, будет одно и то же. В самом деле, внутри объема, определяемого стенками Cv C0 и Yi> Yz• количество жидкости, при постоянной плотности, не может изменяться. С другой стороны, боковые стенки канала C0 и C1 образованы линиями тока, поэтому сквозь них жидкость не протекает, и, следовательно, сколько втекает ЖИДКОСТИ В единицу времени через Yn СТОЛЬКО же вытекает через Y2-
Функцией тока называется функция ф (х, у), принимающая на линии тока C1 постоянное значение, равное количеству жидкости, протекающему в единицу времени через поперечное сечение канала, построенного на линиях C0 и C1.
Функция тока определена с точностью до произвольной постоянной, зависящей от выбора начальной линии тока C0. Если известна функция тока, то уравнения линий тока, очевидно, будут
ф (х, у) = const.
Компоненты скорости течения выражаются через производные от функции тока. Чтобы получить эти выражения, рассмотрим канал, образованный линией тока С, проходящей через заданную точку M (х, у), линией тока С', проходящей через близкую точку M' (х, у-\-Ау), ¦186
Глава IX. Функции комплексного переменного
и двумя параллельными плоскости движения плоскостями, отстоящими на расстоянии, равном единице. Вычислим количество жидкости q, протекающее за время dt через поперечное сечение MM' канала.
G одной стороны, в силу определения функции тока
