Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим семейство функций, зависящее от численного параметра а,
у(х) = у(х) + х-п(х). (12)
Чтобы у (х) при любом а была допустимой функцией, мы должны считать 7) (х) непрерывно дифференцируемой и обращающейся в нуль на концах отрезка [E1, х2]
V(Z1) = -T1(X2) = O. (13)
Интеграл (9), вычисленный для у, будет некоторой функцией параметра а
«г
1 (У) = P7(ж, у+ Сщ, у'+ а»)')йх = Ф(%)1.
Так как у (х) дает минимальное значение интегралу, функция Ф(а) должна иметь минимум при а = 0, и производная от нее в этой точке обязана обращаться в нуль
Ф'(0) = ]>у(я, у, у') г, Fyl (х, у, г,') Vlcte = O. (14)
«і
Последнее равенство должно выполняться при всякой непрерывно дифференцируемой функции ?) (х), обращающейся в нуль на концах отрезка [^1, х2\. Для получения вытекающего отсюда следствия удобнее второй член в условии (14) преобразовать интегрированием по частям
хг 0?
jFp,r,'dx = -jrl-^Fi,.dx
г, Xy
1 Разность у — у ~ а'О называют вариацией (изменением) функции у и обозначают Ьу, а разность I (у) — 1 (у) — полной вариацией интеграла (9). Отсюда и произошло название вариационного исчисления. 160
Глава VIII. Вариационное исчисление
и придать условию (14) другую форму
Ф' (0) = J [F8 - ± Fy,] dx = 0. (15)
Может-быть доказана следующая простая лемма. Пусть выполняются условия:
1) функция /(ж) непрерывна на отрезке [а, 6];
2) функция п (х) непрерывно дифференцируема на отрезке [а, Ъ] и на концах отрезка обращается в нуль.
ъ
Если при любой такой функции п (х) интеграл J / {х) п (х) dx равен
а
нулю, то отсюда следует, что f(x) = 0.
Действительно, допустим, что в некоторой точке с функция / отлична от нуля, и покажем, что тогда заведомо существует такая функ-
Г
ция ті (х), для которой / (х) ті (х) dx =^ О,
а
вопреки условию леммы.
Так как / (с) ф 0 и / непрерывна, наверное существует около с такой про-
а с ^j3 "I межуток [а, ?], в котором / будет всю-
рис ^ ду отличной от нуля и, стало быть, со-
хранять знак.]
Всегда можно построить функцию п(х), непрерывно дифференцируемую на [а, Ь], положительную на [а, ?] и равную: нулю всюду вне [а, ?] (рис. 4).
Такой будет, например, г>(х), определенная равенствами
10 на [а, а],
(х — a)2(?-z)2 на [а, ?], 0 на [?, Ъ}.
Но для такой функции •*) (х)
^fyl dx=| fri dx.
Последний же интеграл не может быть равен нулю, так как произведение /») внутри промежутка интегрирования отлично от нуля и сохраняет знак.
Ввиду того, что равенство (15) должно выполняться для всякой т] (х), непрерывно дифференцируемой и обращающейся в нуль на концах отрезка [X1, х2], мы можем, согласно лемме, утверждать, что это может быть только в том случае, когда
<16) § 2. Дифференциальные уравнения вариационного исчисления 161
или после вычисления производной ПО X
PAx' у- y') — F*„'(x, У, У') — РууЛх, У, y')y' + Fv,y.(x, у, у') у" = 0. (17)
Равенство это является дифференциальным уравнением 2-го порядка относительно функции у. Оно называется уравнением Эйлера. Мы можем высказать следующее заключение.
Если функция у (х) доставляет интегралу I (у) минимум, то она должна удовлетворять дифференциальному уравнению Эйлера (17). Последнее в вариационном исчислении имеет значение, вполне сходное со значением необходимого условия df = 0 в теории экстремумов функций. Оно позволяет сразу отбросить все допустимые функции, которые этому условию не удовлетворяют, так как на них интеграл заведомо не может достигать минимума. Этим очень сильно сужается круг допустимых функций, подлежащих изучению. Свое внимание мы можем сосредоточить только на решениях уравнения (17).
Сами решения уравнения (17) обладают тем свойством, что производная I (у -j- аті)| _о для них обращается в нуль при любых т)(х),
и они аналогичны по своему значению стационарным точкам функции. Поэтому часто говорят, что на решениях (17) интеграл I (у) имеет стационарное значение.
В нашей задаче с закрепленными граничными значениями нужно найти далеко не все решения эйлерова уравнения, а только те из них, которые принимают предписанные значения уг, у2 в точках X1, х2.
Обратим внимание на то, что уравнение Эйлера (17) имеет 2-й порядок. Общее его решение будет содержать две произвольные постоянные
г/ = 9(х, C1, C2).
Их нужно определить так, чтобы интегральная кривая проходила через точки А и В, что доставляет два уравнения для нахождения постоянных C1 и C2
9(?, C1, C2) = Jz1, 9 (х2, C1, C2) = у2.
Во многих случаях эта система имеет только одно решение, и тогда будет существовать только одна интегральная линия, проходящая через А а В.
Разыскание функций, подозрительных на минимум интеграла, мы привели к решению следующей граничной задачи дифференциальных уравнений: на отрезке [X1, х2] нужно найти те решения уравнения (17), которые на концах этого отрезка принимают заданные значения у1г уг.
Часто эту последнюю задачу удается решить при помощи методов, известных в теории дифференциальных уравнений.
Еще раз указываем на то, что каждое решение такой граничной задачи может только подозреваться на минимум и в дальнейшем еще
