Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
е2та- __ cos 2tj + г sin 2тс = 1.
Формулы (17) позволяют исследовать функции cosz и sinz в комплексной области. Мы предоставляем читателю доказать, что в комплексной области COSZ и sinz имеют период 2- и для них верны теоремы о синусе и косинусе суммы.
Общее понятие функции комплексного переменного и дифферен-цируемость функций. Степенные ряды позволяют определить аналитические функции комплексного переменного. Однако представляет интерес изучить для произвольных функций комплексного переменного основные операции анализа и в первую очередь операцию дифференцирования. Здесь обнаруживаются весьма глубокие факты, связанные с дифференцированием функций комплексного переменного. Как увидим дальше, с одной стороны, функция, имеющая первую производную во всех § 1. Комплексные числа и функции комплексного переменного
179
точках окрестности некоторой точки Z0, обязательно имеет в Z0 производные всех порядков и, более того, разлагается в этой точке в степенной ряд, т. е. будет аналитической. Таким образом, рассматривая дифференцируемые функции комплексного переменного, мы опять приходим к классу аналитических функций. G другой стороны, изучение производной откроет нам геометрическую природу функций комплексного переменного и связи теории функций с задачами уравнений математической физики.
Ввиду изложенного мы будем дальше называть аналитической в точке Z0 функцию, имеющую производную во всех точках некоторой окрестности Z0.
Мы будем говорить, исходя из общего определения функции, что комплексное переменное w есть функция комплексного переменного Z, если указан закон, позволяющий получить значение w по заданному значению z.
Каждое комплексное число z = x-\-iy изображается точкой (х, у) на плоскости Oxy, а числа w=u-\-iv будем изображать точками на своей плоскости Ouv — плоскости функции. Тогда с геометрической точки зрения функция комплексного переменного
w = f(z)
определяет закон соответствия между точками плоскости Oxy аргумента и точками плоскости Ouv функции. Другими словами, функция комплексного переменного дает отображение плоскости аргумента на плоскость функции. Задать функцию комплексного переменного Sto значит задать соответствие между парами чисел (ж, у) и (и, v), поэтому задание функции комплексного переменного равносильно заданию двух функций
в = <р(ж, у), v = $(x, у),
причем очевидно
W = и -f- iv = 9 (ж, у).
Например, если
W = Z2 = (ж iy)2 = X2 — у2 -(- Iixy,
то
U = 'р(х, у) = х2—у2, v = ty(x, у) = 2ху.
Производная от функции комплексного переменвого определяется формально так же, как и производная функции действительного переменного. Производная есть предел отношения приращения ,функции к приращению аргумента
f> (Z) = lim/(* + **)-/(*) t (21)
если предел существует.
12* ¦180
Глава IX. Функции комплексного переменного
Если мы предположим, что две действительные функции В И V, состав^ ляющие w = f(z), имеют частные производные по і и у, то этого оказывается еще недостаточно для того, чтобы существовала производная от функции /(z). Предел отношения приращений, как правило, завися» от направления, ио которому точка z' = z-|-Az приближается к точке г (рис. 3). Для существования производной /' (z) надо, zT^z чтобы этот предел не зависел от способа приближе-\іЛу ния z' к z, Рассмотрим, например, случаи, когда г! Z°—^— приближается к z параллельно оси Ox или парал-
лельно оси Oy. Рис- В первом случае
Az = Ах,
f(z + Az) — f{z}=a(x-+-Ax, у)—и(х, у) f і [v (z + Ax, y)—v(x, у)],
и отношение приращений
/ (z + Az) — / (z) __ и (х-1- Ах, у) — и(х у) , . v (х + Ах, у) — v (х, у) Az Ax ' Ax
при Ax -> 0 будет стремиться к
Jд
дх ^r * дх
Во втором случае
"и+г%. (22)
Az = і Ay,
и отношение приращений
/(Z-I- Az)- /(z) __ . и (х, у + А у) — и (х, у) , v (х, у-\-Ау)—у(х,
Az ~~~ 1 Ду Ьу
в пределе даст
ду 1 ду '
dv . ди ,по»
- —»-Х7 • (23)
Если функция w = f(z) имеет производную, то два полученных выражения должны быть равны и, следовательно,
du _ dv
дх ду '
(24)
du _ dv
ду дх
Выполнение этих уравнений есть необходимое условие для существования производной функции w = u-\-iv. Оказывается, что условия (24) не только необходимы, но и достаточны (если функции и и v имеют полный дифференциал). Мы не будем останавливаться на доказательстве достаточности условий (24). Условия (24) носят название уравнений Коши—Римана. § 1. Комплексные числа. и ¦ функции комплексного переменного
181
... Легко убедиться, что ряд правил дифференцирования функций действительного переменного без изменения переносится на функции комплексного переменного. Так обстоит дело с дифференцированием функции z", суммы, произведения и частного. Сам вывод этих формул остается таким же, как для функций действительного переменного, надо только, вместо действительных величин, подразумевать комплексные. Это показывает, что всякий многочлен от z
w = а0 -f- O1Z + . . . -f- а„г"
есть всюду дифференцируемая функция. Любая рациональная функция, равная отношению двух многочленов і
