Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
AArAq-]-----\-Aqn-\----
с положительными А и q, где q < 1, то ряд (8) сходится. В самом деле, если \ w„\<iA<f, то
KKKK^?",
поэтому [см. главу II (том 1), § 14] сходятся ряды (9) и (10), а следовательно, и ряд (8).
Докажем теперь, что если степенной ряд (7) сходится в некоторой точке Z0, то он сходится во всех точках, лежащих внутри круга с центром в точке а, на границе которого лежит Z0 (рис. 2). Из этого утверждения легко следует, что область сходимости ряда (7)
flo + ai(z —а)Н-----I-Mz-«УЧ----
есть или вся плоскость, или единственная точка Z = а, или некоторый круг конечного радиуса.
Итак, пусть ряд (7) сходится в точке Z0; тогда общий член ряда (7) для Z = Z0стремится к нулю при п-> со, и, значит, все члены ряда (7) лежат внутри некоторого круга; пусть А—радиус такого круга, тогда при любом п
I (Z0_ а)" I < Л. (И). ¦176
Глава IX. Функции комплексного переменного
Возьмем теперь любую точку Z1 отстоящую от а на расстоянии меньшем, чем точка Z0, и покажем, что в точке z ряд сходится. Очевидно
|z —a|<|V—а| .
поэтому
\z-a\ 12)
IzO-«I ^
Оценим общий член ряда (7) в точке z
к <* - а)" I = I (? - at (l)" I=K (Z0-O)"! (-^V)";
в силу неравенств (11) и (12) отсюда вытекает
I an(z-a)«\CAqn,
т. е. общий член ряда (7) в точке z меньше общего члена сходящейся геометрической прогрессии. На основании доказанной выше леммы ряд (7) сходится в точке z.
Круг, в котором степенной ряд сходится, а вне которого расходится, носит название круга сходимости', радиус этого круга называется радиусом сходимости степенного ряда. Граница круга сходимости, оказывается, всегда проходит через ближайшие к а точки комплексной плоскости, в которых происходит нарушение правильного поведения функции.
Степенной ряд (4) сходится во всей плоскости комплексного переменного; степенной ряд (5), как уже было сказано, имеет радиус сходимости, равный единице.
Показательная и тригонометрические функции комплексного переменного. Степенной ряд может служить для «продолжения» функций действительного переменного в комплексную область. Так, например, для комплексных значений z определяем функцию е* степенным рядом
^+ЇТ + ІГ+--- (13)
Аналогично вводятся тригонометрические функции комплексного переменного
sin2=]T—5Г + ІГ"---' (14)
COSZ = I-Ij- + ^-... (15)
Эти ряды сходятся во всей плоскости.
Интересно отметить связь, которая обнаруживается между показательной и тригонометрическими функциями при переходе в комплексную область. § 1. Комплексные числа и функции комплексного переменного
177
Подставляя в равенство (13) iz вместо z, получим
JB _ Л I • I I
— '1! 2! 3! ^4! ' " ' "
Группируя вместе члены без множителя і и члены с множителем І, получаем
С*г = COS 2 —|— І sin 2. (16)
Аналогично выводится
= COS Z — і sin z. (16')
Формулы (16) и (16') носят название формул Эйлера. Решая (16) и (16') относительно cos z и sinz, получаем
eiz Є—І2
COS Z :
etz — e-tt
sin Z --
2
(17)
2 і
Весьма важно, что для комплексных значений аргумента остается верным простое правило, называемое теоремой сложения аргумента
е*1 . е*> = ег<+г*. (18)
Так как для комплексных значений аргумента мы определили функцию е* рядом (13), формулу (18) надо доказать, исходя из этого определения. Проведем это доказательство:
е*. .^=(1+^+1+-•.)• (!+1+4+-4
Будем производить умножение рядов почленно. Получаемые члены при перемножении рядов мы можем выписать в виде квадратной таблицы
Ji a
2« z, Z9
l-1 + l-iT+l-^+l -зг + ---
2 3
1 Z| 1 I ^2 I Zj Z2 і zI Zi і
2I 4 zI zI zI Z2
¦ ' ' + 2Г " * + "2! ГГ+ 2Г' 2Г+2Г'Ж+---
Z3 73 Z Z3 Z2 Z? Z3
_i_iL і і _fl _?-_I_-?L 2 і
• • • -T 3! "i 3! ' 1! T 3! 2ї ~' 3! ' 3! ~T " "
Соберем теперь вместе члены с одинаковой суммой степеней Z1 и Z2. Легко заметить, что такие члены лежат на диагоналях нашей таблицы. Получаем
+ +*)+(*+**+?) + ... (19,
12 Математика, т. 2 ¦178
Глава IX. Функции комплексного переменного
Общий член этого ряда будет
2 і ^2 aI , 2
« — 2 2
^2
л| 1 (л—1)! 1'!""Г_(л —2)! ~2!~ • ' " H ^f ==
+ 1! (я —1)! 22_1 2I + 2! (п — )'
Применяя формулу бинома Ньютона, приведем общий член к виду
(«і + Н)п nl
Таким образом, общий член ряда (19) совпадает с общим членом ряда для е*>+*», и это доказывает теорему о правиле умножения (18).
Теорема сложения и формулы Эйлера позволяют вывести выражение для функции ег через функции действительных переменных в конечном виде (без ряда). В самом деле, полагая
z = x + iy,
получим
ё = ех+'у = ех ¦ eiy,
и так как
е,у = cos у і sin у,
иаходим
ё = ех (cos у і sin у). (20)
Полученная формула очень удобна при исследовании свойств функции ё. Отметим два ее свойства: 1) функция е* нигде не обращается в нуль; в самом деле, и входящие в формулу (20) cos у и sin у
одновременно не могут обратиться в нуль; 2) функция е* имеет период 2isi, т. е.
е'+2™ = с*.
Последнее следует из теоремы умножения и равенства
