Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
173
ных чисел имеет значение не только в теории многочленов, но и для другого важнейшего класса функций — класса функций, разлагающихся в степенной ряд
/ (®) = «о + O1(X-U) -+ а2(х—a)2 -+ • • • (3)
Как уже говорилось в главе II (том 1), развитие анализа бесконечно малых потребовало установления более четкой точки зрения на понятие функции и возможные способы задания функции в математике. Не останавливаясь здесь на этих интересных вопросах, напомним только, что на самых первых порах развития анализа выявилось, что наиболее часто встречающиеся функции разлагаются вблизи каждой точки области их определения в степенной ряд. Например, этим свойством обладают все так называемые элементарные функции.
Большинство конкретных задач анализа приводило к функциям, разлагающимся в степенные ряды. С другой сторбны, было желание связать определение «математической» функции с «математической» формулой, а степенной ряд представлялся весьма всеобъемлющим видом «математической» формулы. Эти обстоятельства привели даже к серьезным попыткам ограничить анализ изучением функций, разлагающихся в степенной ряд и получивших название аналитических функций. Развитие науки показало, что такое ограничение нецелесообразно. Задачи математической физики стали выводить за класс аналитических функций, который не содержит уже, например, функций, изображаемых кривыми с угловой точкой. Однако класс аналитических функций, благодаря своим замечательным свойствам и многочисленным приложениям, стал важнейшим из классов функций, изучаемых математикой.
Так как вычисление каждого из членов степенного ряда требует только арифметических операций, значения функции, изображаемой степенным рядом, могут быть вычислены и для комплексных значений аргумента, для тех, при которых ряд продолжает сходиться. Определяя таким образом функцию действительного переменного и для комплексных значений, мы говорим об ее «продолжении» в комплексную область. Поэтому аналитическую функцию, как и многочлены, можно рассматривать не только для действительных, но и для комплексных значений аргумента. Более того, можно также рассматривать степенные ряды с комплексными коэффициентами. Свойства аналитических функций, как и свойства многочленов, раскрываются полно только тогда, когда их рассматривают в комплексной области. Для иллюстрации^ приведем теперь же один пример.
Рассмотрим две функции действительного переменного ¦174
Глава IX. Функции комплексного переменного
Обе эти функции конечны, непрерывны и дифференцируемы произвольное число раз на всей оси Ох. Их можно разложить в ряд Тейлора, например, около начала ж = О
1 і — ж2 + ж4 —жвН--------(5).
1 + Я2
Первый из полученных рядов сходится для всех значений х, между тем как второй ряд сходится только при —1<ж< + 1. Рассмотрение функции (5) для действительных значений аргумента не позволяет раскрыть, какими ее свойствами вызвана расходимость ее ряда Тейлора при IXI ^l. Переход в комплексную область позволяет выяснить это-обстоятельство. Рассмотрим ряд (5) для комплексных значений аргумента
1—Z2 + Z* —Z8-|--------(6>
Сумма п членов этого ряда
Sn=I-ZzJrZi-Ze-I-----1-(-1 )"-122«-2
вычисляется, как и для действительных значений z:
Sn + Z2Sn = 1+(-1)14Z2",
откуда
__! + (- 1)42,
«и
l-fz*
Это выражение показывает, что при |z|<[l
lim s„=
«-»-00 I
так как | z |2П -> 0. Таким образом, при комплексных z, удовлетворяющих
неравенству |z|<l, ряд (6) сходится и имеет сумму 1 z2. При|г|^1
ряд (6) расходится, так как в этом случае разность s„ — s„_x = = (— 1)и-122м-2 не стремится к нулю.
Неравенство |z|<l показывает, что точка z отстоит от начала координат на расстоянии, не превосходящем единицу. Таким образом,, точки, в которых сходится ряд (6), на комплексной плоскости образуют круг с центром в начале координат. На окружности этого круга
лежат две точки і и — і, в которых функция z2 обращается в бесконечность; наличие этих точек и обусловило ограниченность области сходимости ряда (6).
Область сходимости степенного ряда. Область сходимости степенного ряда
aO + aI (Z- + a2 (2- а)2 + ' * * +«Л2" aT+ ¦ ¦ • (7)
на комплексной плоскости всегда есть круг с центром в точке а. § 1. Комплексные числа. и ¦ функции комплексного переменного
175
Докажем это предложение, носящее название теоремы Абеля. Прежде всего заметим, что ряд, члены которого — комплексные числа w„,
wi + Щ H-----\-v>«-\—•» (8)
можно рассматривать как два ряда, составленные из действительных частей и коэффициентов при мнимых частях чисел Wa — u„ -f-
"і -h "г H-----b и» н—. (9)
»1 + M-----и. H— (10>
Частичная сумма s„ ряда (8) выражается через частичные суммы с„ и т„ рядов (9) и (10)
Sn = r>n +
поэтому сходимость ряда (8) равносильна сходимости обоих рядов (9) и (10), а сумма s ряда (8) выражается через суммы ант рядов (9) и (10)
s = с —j— іт.
После этих замечаний становится очевидной следующая лемма.
Если члены ряда (8) по абсолютной величине меньше членов сходящейся геометрической прогрессии
