Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Обозначим заданные точки M1^x1, уг) и M2 (х2, у2) и рассмотрим любую линию, которая может быть задана уравнением
y = f(x). (4)
Если линия проходит через M1 и M2, то функция / будет удовлетворять условиям
/(*і) = Уі. /(?) = ?- (5)
Вращаясь около оси Ох, эта линия опишет поверхность, площадь которой будет численно равна интегралу
S = 2*\ysl\ + ^dx. (Q)
«і
Значение интеграла зависит от выбора линии, или, что равносильно, функции y=f(x). Среди всех функций (4), удовлетворяющих уело- § 1. Введение
155
риям (5), мы должны найти такую функцию, которой отвечает наименьшее значение интеграла (6).
3. Равновесие деформированной мембраны. Под мембраной принято понимать упругую поверхность, плоскую в состоянии покоя, свободно изгибающуюся и работающую только на растяжение. Считается, что потенциальная энергия деформированной мембраны пропорциональна увеличению площади ее поверхности.
Пусть в состоянии покоя мембрана занимает область В плоскости Oxy (рис. 2). Деформируем край I мембраны в направлении, перпендикулярном к Oxy, и обозначим через <р (M) смещение точки M края. При этом деформируется и средняя часть мембраны. Требуется найти положение равновесия ^ мембраны при заданной деформации ее х края.
G большой степенью точности можно считать, что все точки мембраны при указанной деформации совершат перемещения, перпендикулярные к плоскости Оху. Обозначим через а(х, у) перемещение точки (х, у). Площадь мембраны в деформированном состоянии будет1
W^jT KjT ^dxdy.
. и
W ЧІЛ AjJ
Г т. У
(T^
Рис. 2.
Если деформации элементов мембраны считать настолько малыми, что мы вправе пренебрегать высшими степенями их и иу сравнительно с низшими степенями, указанное выражение площади можно заменить другим, более простым
JfC1+4(?+"S) Idxdy-
в
Изменение площади мембраны равно
J Д К + »l]dxdy,
потенциальная же энергия деформации будет иметь значение
T Я UftdX dy, (7)
в
где [л — постоянная, зависящая от упругих свойств мембраны.
1 Здесь и всюду в этой главе в обозначениях частных производных мы будем ограничиваться только индексами, поставленными снизу у знака функции и показывающими, по какому аргументу вычисляется частная производная. 156
Глава VIJJ. Вариационное исчисление•
Так как смещения точек края мембраны мы считаем заданными, функция и (X, у) будет на границе области В удовлетворять условию
u\L = f (M). (8)
В положении равновесия потенциальная энергия деформации должна иметь наименьшее возможное значение, и поэтому функция и (х, у), определяющая отклонения точек мембраны, должна быть найдена иї следующей минимальной задачи: среди всех функций и (х, у), непрерывно дифференцируемых в области В и удовлетворяющих на границе условию (8), найти ту, которая дает наименьшее значение интегралу (7).
Экстремумы функционалов и вариационное исчисление. Приведенные примеры дают возможность составить представление о круге задач, которые рассматриваются в вариационном исчислении. Но чтобы точно определить положение вариационного исчисления в математике, мы должны ознакомиться с несколькими новыми понятиями. Напомним, что одним из основных понятий математического анализа является понятие функции. В простейшем случае понятие о функциональной зависимости может быть высказано так. Пусть M какое-либо множество действительных чисел. Если каждому числу х из множества M соответствует некоторое число у, то говорят, что на множестве M определена функция y=f(x). Множество M часто называют областью определения функции.
Понятие функционала является прямым и естественным обобщением понятия функции и содержит его как частный случай.
Пусть M есть множество каких угодно объектов. Природа этих Объектов для нас сейчас безразлична. Это могут быть числа, точки пространства, линии, функции, поверхности, состояния или даже движения механической системы и т. д. Для краткости мы будем их называть в дальнейшем элементами множества M и обозначать буквой х.
Если каждому элементу х из M соответствует некоторое число у, то говорят, что на множестве M определен функционал y=F(x).
Если множество M есть множество чисел х, то функционал у = F (х) будет функцией одного аргумента. Когда M есть множество пар чисел (X1, х2) или множество точек плоскости, функционал будет функцией у = F (хг, х2) двух аргументов и т. д.
Для функционала y = F(x) мы поставим следующую задачу:
Среди всех элементов X из M нужно найти тот элемент, для которого функционал y = F(x) имеет минимальное значение.
Аналогично формулируется задача о максимуме этого функционала.
Заметим, что если мы у функционала F (х) изменим знак и будем рассматривать функционал —F(x)> то максимумы (минимумы) F (х) перейдут в минимумы (максимумы) —F(x). Поэтому отдельно изучать максимумы и минимумы не имеет смысла, так как теория их является § 2. Дифференциальные уравнения вариационного исчисления
157
весьма сходной, и в последующем мы будем говорить преимущественно о минимумах функционалов.
В задаче о линии наискорейшего ската функционалом, минимум которого ищется, был интеграл (3) — время ската материальной точки вдоль линии. Этот функционал был определен на всевозможных функциях (1), удовлетворяющих условию (2).
