Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Александров А.Д. -> "Математика ее содержание, методы и значение Том 2" -> 61

Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.

Александров А.Д. Математика ее содержание, методы и значение Том 2 — Москва, 1956. — 397 c.
Скачать (прямая ссылка): matemateesoderjaniemetodiiznachenie1956.djvu
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 157 >> Следующая


Глава VII. Кривые и поверхности

но изучающая специально те свойства их, которые сохраняются при лю- ' бых проективных преобразованиях. Основополагающими для последнего і направления явились работы американского математика Вильчинского, а также итальянского математика Фубини и чешского математика Чеха.

Таким же образом возникла и «аффинная дифференциальная геометрия», изучающая свойства кривых, поверхностей и их семейств, сохраняющиеся при аффинных преобразованиях, т. е. при таких, которые не только переводят прямые в прямые, но и не нарушают параллельности прямых. Работами немецкого математика Бляшке и его учеников этот раздел геометрии развит в обширную теорию. Можно упомянуть еще «конформную геометрию», в которой изучают свойства фигур, сохраняющиеся при таких преобразованиях, которые не изменяют углов между любыми кривыми.

В общем, возможные «геометрии» весьма разнообразны, так как в основу каждой из них можно положить в известном смысле любую группу преобразований и изучать именно те свойства фигур, которые сохраняются при преобразованиях этой группы. О таком принципе определения разных «геометрий» мы еще будем говорить в главе XVII (том 3).

Новые направления дифференциальной геометрии успешно разрабатывались и разрабатываются также советскими геометрами (С. П. Фиников, Г. Ф. Лаптев и др.). Но в нашем очерке нет возможности дать понятие о всем разнообразии современных исследований, которые ведутся с успехом в различных направлениях дифференциальной геометрии.

Jl И T E P A T У P А

Гильберт Д. и Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. Гостехиздат, 1951.

Доступно написанный и богатый содержанием обзор большого числа геометрических результатов. Одна из глав специально посвящена дифференциальной геометрии.

JI ю с т е р н и к JI. А. Кратчайшие линии (вариационные задачи). Популярные лекции по математике, вып. 19. Гостехиздат, 1955.

Книга о геодезических, построенная на весьма наглядном материале.

Университетские курсы Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. Изд. 4-е, Гостехиздат, 1956.

Фиников С. П. Курс дифференциальной геометрии. Гостехиздат, 1952.

Специальные монографии Александров А. Д. Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. Гостехиздат, 1948.

Специальная монография, посвященная новым результатам в теории выпуклых поверхностей.

Каган В. Ф. Основы теории поверхностей в тензорном изложении. Гостехиздат, ч. I, 1947; ч. II; 1948.

. Обширный труд по теории поверхностей, в котором большое число классических и современных результатов объединено единым методом изложения. Глава VIII ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

§ I. ВВЕДЕНИЕ

Примеры вариационных задач. Чтобы отчетливее выяснить круг вопросов, которые изучаются в вариационном исчислении1, рассмотрим предварительно несколько отдельпых задач.

1. Линия наискорейшего ската. Задача о брахистохроне, или линпи наискорейшего ската, была исторически первой задачей, положившей начало развитию вариациовного исчисления.

Среди всех линий, соединяющих точки M1 и Mv требуется найти ту, по которой материальная точка, двигаясь под влиянием силы тяжести из M1 без начальной скорости, достигнет пункта M2 в кратчайшее время.

Для решения этой задачи мы должны будем рассмотреть всевозможные линии, соединяющие M1 и M2. Если взять какую-либо одну определенную линию I, то ей будет отвечать какое-то определенное

значение T времени ската по ней материальной точки. Время T будет зависеть от выбора I, и из всех линий, соединяющих M1 и Mv нужно выбрать ту, которой отвечает наименьшее значение Т.

Задаче о брахистохроне можно придать другую форму.

Проведем через точки M1 и M1 вертикальную плоскость. Линия наискорейшего ската должна, очевидно, лежать в ней, и для ее разыскания мы можем ограничиться только линиями, лежащими в этой плоскости. Примем точку M1 за начало координат, ось Ox направим горизонтально, ось Oy — вертикально вниз (рис. 1). Координаты точки M1 будут (0,0); координаты же точки M1 назовем (X2, у2). Возьмем любую линию, которая может быть задана уравнением

y = f(x), O^x ^x2,

Рис. 1.

(1)

1 Происхождение названий «вариационное исчисление» выясняется ниже. 154

Глава VIJJ. Вариационное исчисление•

где /—непрерывно дифференцируемая функция. Так как линия проходит через M1 и Mv функция / на концах отрезка [0, х2] должна удовлетворять условиям

/(0) = 0, / (X2) = V2. (2)

Если взять на линии произвольную точку M(х, у), то скорость движения V материальной точки в этом месте линии будет связана с координатой у точки известным из физики соотношением

1 2

или

v = \/2gy.

Время, необходимое для того, чтобы материальная точка. прошла элемент ds дуги линии, имеет значение

Id

V J2gy

и поэтому полное время ската точки вдоль линии от M1 до M2 равво

т=M^ix-

Разыскание брахистохроны равносильно решению следующей минимальной задачи: среди всевозможных функций (1), удовлетворяющих условиям (2), нужно найти ту, которой соответствует наименьшее значение интеграла (3).

2. Поверхность вращения наименьшей площади. Среди линий, соединяющих две точки плоскости, нужно найти ту, дуга которой при вращёнии около оси Ox образует поверхность с наименьшей площадью.
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 157 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed