Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
ю*
Рис. 50. 148
Глава VII. Кривые и поверхности
нии от этих точек, то, согласно теореме Морса, любую пару точек на замкнутой поверхности можно соединить бесконечным числом геодезических. Так, две точки А, В на боковой поверхности круглого цилиндра можно соединять весьма различными геодезическими: достаточно брать винтовые линии, которые на пути от А к В различное число раз обходят вокруг цилиндра. К геометрии «в целом» относится и доказанная JT. А. Люстер-ником и Л. Г. Шнирельманом теорема Пуанкаре о замкнутых геодезических, о которой идет речь в § 5 главы XVIII (том 3).
Доказательство этих теорем, как и многих других теорем геометрии «в целом», оказалось недоступным обычным приемам классической дифференциальной геометрии и потребовало изобретения новых методов.
Как задачи геометрии «в целом» неизбежно должны были привлечь внимание математиков, так и ограничение одними регулярными поверхностями не могло удержаться в науке хотя бы потому, что мы постоянно сталкиваемся с нерегулярными, не непрерывно изогнутыми поверхностями, такими, как поверхности куба, конуса, выпуклой линзы с острым краем и т. д. Кроме того, очень многие аналитические поверхности при естественном продолжении необходимо получают «особенности» — нарушения регулярности, как, например, ребра или острия. Так, кусок поверхности конуса при естественном продолжении приводит к вершине — острию, где нарушается гладкость поверхности.
Последний результат есть лишь частный случай следующей замечательной теоремы. Всякая развертывающаяся поверхность, не являющаяся цилиндрической, при естественном продолжении доходит до ребра (или острия в случае конуса), за которое она с сохранением регулярности уже не может быть продолжена.
Таким образом, между поведением поверхности «в целом» и ее особенностями есть глубокая связь. Такова одна из причин, по которым решение задач «в целом» и изучение поверхностей с «особенностями» (ребрами, остриями, разрывами кривизны и т. п.) должны развиваться вместе.
Аналогичные новые направления возникали в анализе. Так, например, качественная теория дифференциальных уравнений, о которой говорилось в § 7 главы V, как раз исследует свойства решений дифференциального уравнения во всей области его определения, т. е. «в целом», и она же обращает специальное внимание на «особенности», на нарушения регулярности, на особые точки уравнений. Кроце того, современный анализ включил в сферу исследования нерегулярные функции, которыми не занимался классический анализ (см. главу XV, том 3); это дало геометрии новые средства для изучения более общих поверхностей. Наконец, в вариационном исчислении, где обычно ищется кривая или поверхность, обладающая теми или иными экстремальными свойствами, иногда оказывалось, что предельная кривая, для которой достигается экстремум, не является регулярной. Необходимая в постановке таких задач замкнутость класса кривых или поверхностей также требовала расширения круга рассматриваемых ли- § 5. Новые направления в теории, кривых и поверхностей
146
ний и поверхностей — прежде всего за счет привлечения ХОТЯ бы простейших нерегулярных кривых и поверхностей. Словом, новые направления в геометрии рождались не изолированно, а в тесной связи со всем развитием математики.
Поворот к решению задач «в целом» и изучению не только регулярных поверхностей начался около 50 лет назад. В разработке этого нового направления приняли участие многие математики. Первый существенный
ширной главе геометрии — теории выпуклых тел. Кстати, одним из вопросов, побудивших Минковского кзтим исследованиям, были задачи о правильных решетках, тесно связанные с теорией чисел и геометрической кристаллографией.
Тело называется выпуклым, если через каждую точку его поверхности можно провести плоскость, не рассекающую это тело, т. е. это тело можно любой точкой поверхности упереть в плоскость (рис. 51). Выпуклое тело определяется своей поверхностью, и в большой степени безразлично, говорим ли мы о теории выпуклых тел или о теории замкнутых выпуклых поверхностей. Общие теоремы о выпуклых телах справедливы, как правило, без каких бы то ни было дополнительных предположений гладкости или «регулярности» их поверхностей. К тому же эти теоремы относятся обычно именно к целому выпуклому телу или поверхности. Теория выпуклых тел и поверхностей, таким образом, в самой своей основе преодолевала ограничения классической дифференциальной геометрии. Однако она была с ней очень мало связана; объединение зтих теорий произошло значительно позже.
Начиная с 1940 г., А. Д. Александров развил теорию общих кривых и поверхностей. Эта теория охватывает и регулярные поверхности классической дифференциальной геометрии и негладкие поверхности: многогранные, любые выпуклые и др. Несмотря на большую общность постановки вопросов и выводов этой теории, в ее основе лежат прежде всего наглядные геометрические понятия и методы, хотя она существенно использует. также понятия и методы современного анализа. Одним из основных методов теории является приближение общих поверхностей многогранниками (многогранными поверхностями). Этот прием в простейшей форме 150
