Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
На первый взгляд может показаться, что всякое изгибание можно осуществить непрерывным путем, однако это не так. Например, доказано, что поверхность, имеющая форму круглого жолоба (рис. 42), не допускает непрерывных изгибаний (этим, между прочим, объясняется тот общеизвестный факт, что ведро с загнутым краем значительно прочнее, нежели с ровным), хотя изгибание такой поверхности возможно: достаточно разрезать жолоб по окружности, вдоль которой он касается горизонтальной плоскости, и заменить одну из половинок ее зеркальным отражением в этой плоскости (на рис. 43, как и на рис. 42, для наглядности изображена только половина рассматриваемой поверхности). Интуитивно понятно, что
'V
Рис. 42
Рис. 43
1 Случай 'превращения геодезической в линию с нулевой кривизной исключается, так как нетрудно убедиться, что для поверхностей положительной гауссовой кривизны он заведомо невозможен. § 4. Внутренняя геометрия а изгибание поверхностей
13 T
непрерывному изгибанию жолоба препятствует его кольцеобразная форма ^например, для прямого жолоба изгибание, аналогичное описанному, .можно совершить непрерывно).
Если ограничиться достаточно малым участком поверхности, то никаких видимых препятствий для его непрерывного изгибания нет, и можно было бы ожидать, что всякое изгибание малого участка поверхности осуществимо непрерывным образом с добавлением, быть может, одного зеркального отражения. Это действительно верно, но только при условии, что на рассматриваемом малом участке поверхности гауссова кривизна не обращается в нуль (не считая случая, когда она везде равна нулю). Если же гауссова кривизна обращается в нуль в отдельных точках, то, как доказал в 1940 г. Н. В. Ефимов, даже сколь угодно малые куски поверхности могут не допускать непрерывных изгибаний с сохранением регулярности. Так, например, поверхность, задаваемая уравнением 2=жэ+Ъ;6г/3+г/9, где X — трансцендентное число, такова, что никакой, даже сколь угодно малый ее участок, содержащий начало координат, не допускает достаточно регулярных непрерывных изгибаний. Теорема Ефимова является новым и несколько неожиданным результатом в классической дифференциальной геометрии.
Наряду с общими вопросами теории изгибания большое место в геометрии занимают исследования специальных типов изгибания поверхностей.
Связь внутренней геометрии поверхности с ее пространственной формой. Мы уже знаем, что некоторые свойства поверхности и фигур на ней, непосредственно связанные с их пространственной формой, как говорят, «внешне-геометрические» свойства, определяются внутренней геометрией поверхности. Например, произведение главных кривизн поверхности (гауссова кривизна) определяется ее внутренней геометрией. Другой пример: для того чтобы у кривой, лежащей на поверхности, главная нормаль всюду совпадала с нормалью к поверхности, необходимо и достаточно, чтобы эта кривая обладала определенным внутренне-геометрическим свойством, а именно была бы геодезической.
Наряду с этим внутренняя геометрия поверхности определяет ее пространственную форму лишь с известным произволом.
Зависимость пространственной формы поверхности от ее внутренней геометрии может быть выражена аналитически в виде уравнений, в которые входят величины, характеризующие внутреннюю геометрию, и величины, характеризующие внешнюю искривленность поверхности. Одно из этих уравнении представляет собой формулу, выражающую гауссову кривизну через величины, относящиеся к внутренней геометрии, и принадлежит Гауссу. Два других уравнения это—уравнения Петерсона — Кодацци, о которых упоминалось в § 1.
Уравнения Гаусса—Петерсона — Кодацци полностью исчерпывают связь между внутренней геометрией поверхности и ее искривленностью 140
Глава VII. Кривые и поверхности
в пространстве, так что все возможные зависимости между внутренне-геометрическими и внешне-геометрическими величинами произвольной поверхности, по крайней мере в скрытом виде, уже заключены в этих уравнениях.
Поскольку форма поверхности в пространстве не определяется только ее внутренней геометрией, естественно встает вопрос: какие внешне-геометрические величины нужно еще задать, чтобы полностью определить поверхность? Оказывается, что если две поверхности имеют одинаковую внутреннюю геометрию и кривизны нормальных сечений этих поверхностей, взятые со знаком, в соответственных точках и направлениях равны, то и сами поверхности равны, т. е. могут быть совмещены движением. Отметим, что Петерсон открыл эту теорему за 15 лет до Боннэ, с именем которого ее часто связывают.
Аналитический аппарат теории поверхностей. Систематическое применение анализа в теории поверхностей привело к созданию аналитического аппарата, специально приспособленного для этой цели. Решающим шагом в этом направлении послужил введенный Гауссом способ аналитического задания поверхности посредством так называемых криволинейных координат. Этот способ представляет собой естественное обобщение идеи декартовых координат на плоскости и тесно связан с внутренней геометрией поверхности, в которой задание поверхности уравнением Z=/(х, у) становится уже неудобным. Неудобство состоит в том, что координаты х, у точки на поверхности при изгибании меняются. Чтобы устранить это неудобство, координаты вводят на самой поверхности, определяя каждую точку двумя числами и, v, которые связаны с данной точкой (и остаются связанными с ней и после изгибания). Пространственные же координаты х, у, z каждой точки будут всякий раз теми или иными функциями от и, v. Числа и, v, задающие точку на поверхности, называются ее криволинейными координатами. Название это понятно: если фиксировать значение одной из координат, скажем v, а другую менять, то мы получим координатную линию на поверхности. Координатные линии образуют на поверхности криволинейную сеть, аналогичную координатной сети на плоскости. Заметим, что известное определение положения точки на земной поверхности с помощью широты и долготы есть не что иное, как введение криволинейных координат на поверхности шара; координатная сеть в данном случае состоит из окружностей — меридианов и параллелей 1 (рис. 44). Чтобы задать пространственное положение поверхности с помощью криволинейных координат, нужно определить положение каждой ее точки в зависимости от и и v, например задавая вектор г, идущий из некоторого фиксированного начала в точку поверхности (так называемый радиус-вектор поверхности), как функцию и и v: r=r(u, v)
