Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Глава VII. Кривые и поверхности
знаком каждому школьнику, например, из вычисления площади боковой поверхности цилиндра как предела площадей призм. В ряде случаев этот метод дает сильные результаты, которые либо не удается получить другим путем, либо они требуют при аналитическом подходе больших усилий и привлечения сложных соображений. Суть метода состоит в том, что задача сначала решается для многогранников, а потом результат
многогранников или поверхностей из кусков, например: склеивание куба из крестообразной выкройки (рис. 52) или цилиндра из прямоугольника и двух кругов. Этот простой прием склеивания поверхностей из кусков превращается в общий метод «разрезывания и склеивания», дающий в разнообразных вопросах теории поверхностей сильные результаты и нашедший практические применения.
Глубокие результаты в этой теории были получены А. В. Погореловым. В частности, он доказал, что любая замкнутая выпуклая поверхность не-изгибаема как целое с сохранением ее выпуклости. Этот результат, полученный в 1949 г., завершает усилия многих известных математиков, которые на протяжении 50 лет пытались доказать зту теорему и получали ее доказательство лишь при тех или иных дополнительных предположениях. Выводы А. В. Погорелова в соединении с «методом склеивания» дали не только полное решение этой задачи, но почти до конца выяснили весь вопрос об изгибаемости или неизгибаемости замкнутых и незамкнутых выпуклых поверхностей. Им установлена также тесная связь новой теории с «классической».
Таким образом, построена теория поверхностей, охватывающая как классическую теорию, так и теорию многогранников, любых выпуклых и весьма общих невыпуклых поверхностей. Недостаток места не позволяет рассказать здесь о выводах и нерешенных еще задачах этой теории подробнее, хотя это и можно было бы сделать, так как они во многом
переносится на общие поверхности путем предельного перехода.
Рис. 52.
Одной из основ теории общих выпуклых поверхностей явилась теорема об условиях, при которых из данной развертки можно склеить выпуклый многогранник. Эта теорема, вполне элементарная по формулировке, имеет, однако, не-злементарное доказательство и приводит к далеко идущим следствиям для общих выпуклых поверхностей. Читатель, конечно, знаком со склеиванием § 5. Новые направления в теории, кривых и поверхностей
146
вполне наглядны и, несмотря на трудности точных доказательств, не требуют для понимания постановки задач особых знаний.
Выше в § 4, говоря об изгибаниях поверхностей, мы имели в виду изгибания регулярных (непрерывно искривленных) поверхностей, сохраняющие их регулярность. В упомянутой только-что теореме Погорелова, напротив, не требуется никакой регулярности исходной или изогнутой поверхности, однако налагается требование выпуклости обеих поверхностей.
Очевидно, что изгибание сферы, например, становится возможным, если допустить нарушение выпуклости и изломы получаемой поверхности. Достаточно отрезать от сферы некоторый сегмент и вставить его на прежнее место в перевернутом виде, т. е. как бы продавить участок сферы во внутрь, как мы получим пример такого рода изгибания. Значительно более неожиданным оказывается результат, полученный недавно американским математиком Пешем и голландским математиком Кейпером. Они показали, что если сохранять только гладкость поверхности и допустить появление сколь угодно резких переходов в кривизне поверхности (т. е. отказаться от каких бы то ни было требований непрерывности, ограниченности и даже существования вторых производных у задающих поверхность функций), то окажется возможным изгибать поверхность как целое с очень большой степенью произвола. В частности сфера может быть изогнута в сколь угодно маленький комочек, представляющий собой гладкую поверхность, состоящую из весьма мелких волнистых складок. Некоторое представление о такой деформации подсказывает ясно вообразимая возможность весьма произвольно мять сделанный из мягкого как тряпочка пластиката сферический чехол. Иначе обстоит дело с целлулоидовым мячиком. Его упругая поверхность не допускает не только растяжений, но и крутых перегибов, и такой мяч оказывается именно поэтому весьма жестким.
Дифференциальная геометрия разных групп преобразований. С начала нашего столетия из классической дифференциальной геометрии вырос ряд новых направлений, объединенных одной общей идеей. Речь идет о том, чтобы специально изучать свойства кривых, поверхностей и их семейств, не меняющиеся при преобразованиях того или иного вида. Классическая дифференциальная геометрия изучала свойства, не меняющиеся при движениях, но можно, конечно, рассматривать и другие геометрические преобразования. Например, проективным преобразованием называется любое преобразование области пространства, при котором прямые остаются прямыми. Уже давно возникла так называемая проективная геометрия, изучающая свойства фигур, сохраняющихся при любых проективных преобразованиях. По своим задачам она оставалась аналогичной обычной элементарной и аналитической геометрии, пока с начала нашего века в работах ряда математиков не стала разрабатываться «проективная дифференциальная геометрия», т. е. теория кривых, поверхностей и их семейств, подобная классической дифференциальной геометрии, 152
