Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
1 Характерно, что географические координаты в их практическом применениа появились задолго до того, как Декарт ввел обычные координаты на плоскости. § 4. Внутренняя геометрия а изгибание поверхностей
13 T
(это равносильно заданию составляющих х, у, z вектора г как функций от и, ?)1. Для задания кривой, лежащей на данной поверхности, нужно задать координаты и,V как функции одного параметра t, после чего радиус-вектор переменной точки на этой кривой выразится в виде сложной функции r[u{t), v(t)\.
На векторные функции дословно обобщается понятие производной и дифференциала; при этом непосредственно из определения производной как предела
Рис. 44. Рис. 45.
^ при 4г -> 0 (г есть функция параметра t) следует, что производная радиуса-
вектора кривой есть вектор, направленный по касательной к этой кривой (рис. 45). На векторные функции переносятся основные свойства обычных производных, в частности правило дифференцирования сложных функций
dr[u(t), v(t)] _drdu drdv __ , ,
dt — du dt + dv dt ~ « '+ r»*' {i)
где r,„ rT — частные производные векторной функции г (и, v).
Длина кривой, как можно доказать, выражается интегралом
s = j X2 (t) + у'2 (I) + г'2 (T) dt.
Следовательно, дифференциал длины кривой равен
ds = \1х'2 (г) + у'2 (г) -)- г'2 (г) dt.
1 Гаусс, конечно, еще не пользовался векторными обозначениями. Как функции от и и V им непосредственно определялись порознь все три координаты точки
поверхности. Векторы, появившиеся в результате работ Гамильтона и Грассмана, сначала получили широкое применение в физике и лишь значительно позднее (фактически в XX н.) стали традиционным аппаратом в изложении аналитической и дифференциальной геометрии. 142
Глава VII. Кривые и поверхности
dr і
Но так как ж'(г), у'(t), z'(г) есть не что иное, как составляющие вектора =
то можно написать: = где | г/| означает длину вектора г\. Для кривой,
лежащей на поверхности, согласно (7) получаем
ds = I rUuI + rvvt I dt-
Вычисляя квадрат длины вектора, стоящего в правой части, по правилам векторной алгебрыполучим
ds2 ,-, [г2 и? + IrnTUlVl + г2/?] dt*.
Переходя к дифференциалам и вводя обозначения
г*= E(u,v), rarv = F(u,v), г2 = G (и, v),
будем иметь
dsv- = E du2 2F du dv G dv2.
Мы видим, что квадрат дифференциала длины дуги на поверхности есть квадратичная форма от дифференциалов du, dv с коэффициентами, зависящими от точки поверхности. Эта квадратичная форма называется первой квадратичной формой поверхности. Задание в каждой точке поверхности коэффициентов Е, F, G первой квадратичной формы позволяет вычислять длины любых кривых на поверхности
по формуле S = J ^ Euf -)- 2FutVl + Gvfdt и, следовательно, полностью определяв" <1
ее внутреннюю геометрию.
Покажем для примера, как выражаются через Е, F, G угол и площад„ Пусть из точки исходят две кривые, одна из них задается уравнениями и = U1 (t, V = V1(I)1 а другая — уравнениями и = U2 (t), v = v2(t). Тогда касательными к эти», кривым служат векторы
dui . dv1
Г] - г" ЧГ + Гс Ht '
„ du2 dv2
Г2 = Г" ~dT + r* Tt •
Косинус угла между этими векторами равен их скалярному произведению'Г]г.? деленному на произведение их длин T1^2,
a du\ du2 . Zdu1 dv2 . du2 2 dv1 dv2
ГіГ2 " ~dt~ ~dt + Г"Г* \dt ~dt + ~df ~dt) + Г" W ' It
cos a : •
TyT2 T1T2
Вспоминая, что r\= E, r rt = F, r2=G, получаем
dui du2 p tdu\ dv2 . du2 rffA dv j dv.z ~~dt dt V dt ~dt dt ~dt) ~dt~dt
V »з? Si+-= my б ш+* & s+1° ш
1 Квадрат длины вектора есть скалярное произведение вектора самого hl себя, а для скалярного умножения, как мы знаем [см. главу III (том 1), § 9, верны обычные правила раскрытия скобок. § 4. Внутренняя геометрия а изгибание поверхностей
13 T
Чтобы получить формулу для площади, рассмотрим криволинейный четырехугольник, ограниченный координатными линиями и — и0, v = v0, и-=и0-\- Au, л = V0 -(- Av, и заменим его приближенно параллелограмом, лежащим в касательной плоскости и построенным на векторах r„Au, rt Av, касательных к координатным пиниям (рис. 46). Площадь этого параллелограма As = | j |/-„ | ДмДг^ sin ф, где <р— угол между г„ и г„. Так как sin <р = ^1 — cos2 <р, то As = | ra 11г„ | AuAv Vl — cos'2 <р = = sJ ГУ, — I r„ |2 I rI |2 cos'2 <Р buAv. Вспоминая, что r% = E, r2v=G, \ r(( | ¦ | re | cos <р ==
= r„rv = F, получим: 4s = ^JEG— F2 AuAv. Суммируя площади параллелограмов и переходя к пределу при Au, Av-+0, получаем для площади формулу
S = [ J у/EG — F2Audv, где интегрирование производится по области D изменения "с
переменных и, V, соответствующей данному участку поверхности.
Криволинейные координаты, таким образом, весьма удобны при исследовании внутренней геометрии поверхности.
Оказывается, что искривленность поверхности в пространстве также можно характеризовать посредством некоторой квадратичной формы от дифференциалов du>-dv. В самом деле, если п — единичный вектор нормали к поверхности в точке М, а Ar — приращение радиуса-вектора поверхности при смещении из этой точки, то отклонение h поверхности от касательной плоскости (рис. 47) равно п Ar. Разлагая приращение Ar по формуле Тейлора, получим
