Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Александров А.Д. -> "Математика ее содержание, методы и значение Том 2" -> 54

Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.

Александров А.Д. Математика ее содержание, методы и значение Том 2 — Москва, 1956. — 397 c.
Скачать (прямая ссылка): matemateesoderjaniemetodiiznachenie1956.djvu
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 157 >> Следующая


1 Растянутая нить будет прилегать лишь к выпуклой поверхности, поэтому, чтобы не делать исключений, правильнее представлять себе поверхность как бы двухслойной, а нить — помещенной между двумя ее слоями.

2 Здесь мы под «внешними» силами понимаем все силы, кроме реакции поверхности. 136

Глава VII. Кривые и поверхности

Из этого результата вытекают еще; два наглядных свойства геодь зических линяй. Во-первых, если упругая прямоугольная пластинке (например, стальная линейка) плотно прилегает к поверхности вдоль своей средней линии, то она касается этой поверхности вдоль геодезичь ской. (Действительно, линия соприкосновения остается геодезической Ht линейке, а потому оказывается геодезической и на поверхности.) Ь<-вторых, если некоторая поверхность катится по плоскости так, что OHt касается при этом плоскости по некоторой прямой, то след этой прямої на поверхности есть геодезическая Оба эти свойства легко продемоь

стрировать на примере цилиндра и убедиться на опыте, что срединна;. линия плоской прямой полосы, наложенной на цилиндр (рис. 40), раст-лагается либо но образующей, либо по окружности, либо по винтовоі линии (нетрудно доказать, что геодезические линии на цилиндре могу быть лишь одного из этих типов). Те же линии отпечатываются на цилиндре если катить его по плоскости, на которой мелом начерчена прямая.

Аналогия геодезических с прямыми на плоскости может быть дополнена еще одним важным свойством, которое часто берут за определение геодезических. Именно, прямые на плоскости можно определить каї кривые нулевой кривизны, а геодезические на поверхности — как кривые имеющие нулевую геодезическую кривизну. (Напомним, что геодезическаї кривизна есть кривизна проекции кривой на касательную плоскость поверхности в исследуемой точке кривой; см. рис. 37.) Естественності совпадения этого определения геодезических с исходным М0ЖН( пояснить следующими соображениями. Если в каждой точке некоторой линии кривизна проекции на касательную плоскость равна нулю, ті кривая отходит от своей касательной в основном в направлении нормалг

і Это утверждение по существу равносильно предыдущему, потому что качі-ние поверхности по плоскости в известном смысле эквивалентно наворачиванин плоской ленты на поверхность.

Рис. 40. § 4. Внутренняя геометрия а изгибание поверхностей

13 T

к поверхности, поэтому и главная нормаль кривой направлена всякий раз по нормали к поверхности, и кривая оказывается геодезической в первоначально указанном смысле. Наоборот, если кривая является геодезической, то ее главная нормаль, а потому и основная часть отклонения от касательной прямой направлены в сторону нормали к поверхности, поэтому при проектировании на касательную плоскость получается кривая, у которой отклонение от касательной существенно меньше, чем у исходной кривой, и кривизна полученной проекции оказывается равной нулю.

Рис. 41.

Ход геодезических на различных поверхностях может быть весьма разнообразным. Для примера на рис. 41 изображено несколько геодезических на гиперболоиде вращения.

Изгибание поверхностей. С внутренней геометрией, изучающей свойства поверхностей, не меняющиеся при изгибаниях, тесно связано исследование самих изгибаний. Теория изгибания поверхностей принадлежит к числу наиболее содержательных и трудных разделов геометрии и включает многочисленные проблемы, некоторые из которых, несмотря на простоту и естественность постановки, до сих пор не получили окончательного решения.

Вопросами изгибания поверхностей занимались еще Эйлер и Мин-динг, но общие результаты, касающиеся изгибания любых поверхностей, были получены позже.

В общей теории изгибаний прежде всего встает вопрос о том, всегда ли можно изгибать поверхность, и если можно, то с какой степенью произвола. Для так называемых аналитических поверхностей, т. е. поверхностей, которые можно задать функциями координат, разлагающимися в ряд Тейлора, этот вопрос был решен в конце прошлого века французским геометром Дарбу. В частности, оказалось следующее: если на поверхности взять любую геодезическую и задать в пространстве произ- 138

Глава VII. Кривые и поверхности

вольную (аналитическую) кривую той же длины, нигде не имеющую нулевой кривизны, то достаточно узкая полоска поверхности, содержащая данную геодезическую, может быть изогнута так, что геодезическая превратится в данную кривуюЭта теорема показывает, что полоску поверхности можно гнуть довольно произвольно. Однако доказано, что если кривая, в которую должна перейти геодезическая, задана, то поверхность можно изогнуть не более чем двумя способами. (Например, если эта линия плоская, то два положения поверхности будут зеркально симметричными относительно этой плоскости.) Если же геодезическая является прямой, то последнее утверждение неверно, как показывает любой пример изгибания цилиндрической поверхности.

Мы определяли изгибание как такую деформацию поверхности, в результате которой длины всех кривых на поверхности остаются неизменными. При этом речь шла об окончательном результате деформации; вопрос о том, как ведет себя поверхность в процессе деформации, не ставился. Между тем, рассматривая поверхность как сделанную из гибкого, но нерастяжимого материала, естественно рассматривать непрерывную деформацию, в каждый момент которой длины остаются неизменпыми (физически это и соответствует нерастяжимости материала). Такие деформации называются непрерывными изгибаниями.
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 157 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed