Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Глава VII. Кривые и поверхности
ческие свойства меняются от точки к точке. Если характер задач внутренней геометрии сближает ее с планиметрией, то указанная неоднородность составляет ее глубокое принципиальное оТличие от планиметрии. Так например, на плоскости сумма углов всякого треугольника равна двум прямым; на произвольной же поверхности вопрос о сумме углов треугольника, образованного кратчайшими, является неопределенным, даже если известна поверхность, на которой расположен треугольник и указаны его «размеры», например длины сторон. Однако, если известна гауссова кривизна К в каждой точке этого треугольника, то сумма его углов ас, (3, у вычисляется по формуле
* + P + Y = " + Kdrj,
где интегрирование происходит по площади треугольника. Эта формула содержит, как частный случай, известные теоремы о сумме углов треугольника на плоскости и на единичной сфере. В первом случае K = О и ос-j-? —у = а во втором AT = I и у„-|-[і-|~У—^ + гДе $ — пл0" щадь сферического треугольника.
Можно доказать, что всякий достаточно малый кусок поверхности с нулевой гауссовой кривизной можно изогнуть или, как еще принято говорить, развернуть на плоскость, так как он имеет такую же внутреннюю геометрию как и плоскость. Такие поверхности называются развертывающимися. Если же гауссова кривизна близка к нулю, то хотя поверхность и нельзя развернуть на плоскость, но все же ее внутренняя геометрия мало отличается от планиметрии. Это лишний раз показывает, что гауссова кривизна служит мерой отклонения внутренней геометрии поверхности от планиметрии.
Геодезические линии. Во-внутренней геометрии поверхности роль прямых играют так называемые геодезические линии или, как принято говорить, просто «геодезические».
Прямую на плоскости можно определить как линию, составленную из отрезков, частично налегающих друг на друга. Точно так же определяется геодезическая, только роль отрезков играют кратчайшие. Иначе говоря, геодезическая — это такая кривая на поверхности, у которой всякая достаточно малая дуга является кратчайшей. В том, что не всякая геодезическая в целом является кратчайшей, можно убедиться на примере поверхности шара, где всякая дуга большого круга является геодезической, но кратчайшими будут лишь ее участки, не превосходящие полуокружности. Геодезическая может быть, как видим, даже замкнутой кривой.
Чтобы выяснить йекоторые важные свойства геодезических, рассмотрим следующую механическую модель1. Пусть на поверхности F
1 Заранее отметим, что наши ближайшие рассуждения не претендуют на строгое доказательство свойств геодезических линий. Они имеют целью только пояснить важнейшие из этих свойств. § 4. Внутренняя геометрия а изгибание поверхностей
13 T
помещена растянутая резиновая нить с закрепленными концами (рис. 39)1. Когда нить имеет наименьшую длину, она будет в равновесии, так как всякое изменение ее положения связано с растяжением и потому может произойти лишь под воздействием внешних сил. Значит, нить, расположенная по кратчайшей, будет в равновесии. Для равновесия необходимо, чтобы упругие силы на каждом участке нити уравновешивались сопротивлением поверхности, которое направлено по нормали к ней. (Мы считаем, что поверхность гладкая и трение между нитью и поверхностью отсутствует.) Но в § 2 было установлено, что давление, производимое натянутой нитью на опору, направлено по главной нормали к кривой, вдоль которой идет нить. Поэтому мы приходим к такому результату: главная нормаль геодезической в каждой точке направлена по нормали к поверхности. Верна и обратная теорема: всякая кривая на регулярной поверхности, обладающая указанным свойством, является геодезической.
Указанное свойство геодезической позволяет обнаружить следующий замечательный факт: если материальная точка движется по поверхности так, что на нее не действуют никакие силы, кроме реакции поверхности, то ее траектория есть геодезическая. Действительно, как мы знаем из § 2, нормальное ускорение точки направлено по главной нормали к траектории, а поскольку единственная сила, действующая на точку, есть реакция поверхности, главная нормаль к траектории совпадает с нормалью к поверхности, и в силу последней теоремы траектория является геодезической. Последнее'свойство геодезических еще больше углубляет их сходство с прямыми линиями. Подобно тому как движение свободной точки по инерции происходит по прямой, движение точки, вынужденной оставаться на поверхности, при отсутствии внешних сил происходит по геодезической 2.
Из того же свойства геодезических вытекает следующая теорема: если две поверхности касаются друг друга вдоль кривой, которая на одной из них является геодезической, то на второй поверхности эта кривая также будет геодезической. В самом деле, так как в каждой точке этой кривой поверхности имеют общую касательную плоскость, они в этих точках имеют общую нормаль, а так как на одной из поверхностей кривая является геодезической, эта нормаль совпадает с главной нормалью к кривой. Следовательно, на второй поверхности кривая тоже будет геодезической.
