Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
h = п dr ~ п d2r + е (du"- -f dv2),
где є-»-0 при ^du2 + dv2 -»-0. Так как вектор dr лежит в касательной плоскости, то ndr = 0; последний член є (du2 + dv2) мал по сравнению с квадратами диффе-
1
ренциалов du и dv. Остается основной член п A-r. Удвоенная главная часть й, величина nd'2r, оказывается квадратичной формой относительно du ж dv
ft d2r = «rm, du2 4- 2nruv dudv + nrm dv2.
Эта форма и описывает характер отклонения поверхности от касательной плоскости. Она называется второй квадратичной формой поверхности. Ее коэффициенты.. зависящие от и и v, принято обозначать так:
пг,т - L, nrm = М, nrm = N. Зная вторую квадратичную форму, мы можем вычислить кривизну любой линии' 144
Глава VII. Кривые и поверхности
яа поверхности. В самом деле, применяя формулу A = Iim —, получим, что кри-
г->о I2
визна нормального сечения, проведенного в направлении, которому соответствует отношение дифференциалов du : dv, равна
_п d^r_L du2-{-IM dudv + N dv2
* ~' ds'i E du* + 2F dudv + G dv2 '
Если рассматриваемая кривая не является нормальным сечением, то согласно теореме Менье достаточно разделить кривизну нормального сечения, идущего в том же направлении, на косинус угла между главной нормалью кривой и нормалью к поверхности.
Введение второй квадратичной формы дает аналитический подход к изучению искривленности поверхности. В частности, можно чисто аналитически получить теоремы Эйлера и Менье, выражения для гауссовой и средней кривизны и т. п.
Теорема Петерсона, о которой говорилось выше, показывает, что две квадратичные формы, вместе взятые, определяют поверхность с точностью до ее положения в пространстве, и, следовательно, изучение любых свойств поверхности аналитически сводится к изучению этих форм. В заключение отметим, что коэффициенты двух квадратичных форм не являются независимыми; та связь между внутренней геометрией поверхности и ее пространственной формой, о которой упоминалось, аналитически выражается в виде трех соотношений (уравнений Гаусса—Кодацци) между коэффициентами первой и второй квадратичных форм.
§ 5. НОВЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ В ТЕОРИИ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ
Семейства кривых и поверхностей. Хотя основы теории кривых и поверхностей были в большой мере завершены еще в середине прошлого столетия, теория эта продолжала и продолжает развиваться. Вместе с тем к ней постепенно присоединился ряд новых направлений: расширился круг фигур и их свойств, исследуемых в современной дифференциальной геометрии. Впрочем, одно из этих направлений уходит своими истоками еще ко времени зарождения дифференциальной геометрии. Речь идет о теории «семейств», т. е. непрерывных совокупностей кривых и поверхностей. Эту теорию можно, однако, считать новой в том смысле, что ее глубокое развитие началось только тогда, когда основы теории кривых и поверхностей были уже вполне разработаны.
Вообще непрерывная совокупность фигур называется п-параметрическим семейством, если каждая фигура этой совокупности задается значениями п параметров, причем предполагается, что все величины, характеризующие фигуру (в отношении ее положения, формы и пр.), зависят от этих параметров по крайней мере непрерывно. С точки зрения этого общего определения кривую можно рассматривать как однопараметрическое, а поверхность — как двупараметрическое семейство точек. Совокупность всех окружностей на плоскости дает пример трехпараметрического семейства кривых, так как круг на плоскости задается тремя параметрами: двумя координатами центра и радиусом.
Простейший вопрос теории семейств кривых или поверхностей представляет нахождение так называемой огибающей семейства. Поверхность § 5. Новые направления в теории, кривых и поверхностей
146
называется огибающей данного семейства поверхностей, если она в каждой своей точке касается одной из поверхностей семейства и таким образом касается каждой из них. Например, огибающей семейства сфер равных радиусов, с центрами на данной прямой, будет цилиндр (рис. 48), а огибающая семейства таких же сфер с центрами во всех точках данной плоскости будет состоять из двух параллельных плоскостей. Аналогично определяется огибающая семейства кривых. На рис. 49 изображены струи воды, бьющие из фонтана под разными углами; в одной плоскости они образуют семейство кривых, которые можно приближенно считать параболами. На фотографии ясно обозначается их огибающая, которая служит как бы общим контуром водяного каскада. Конечно, не всякое семейство кривых или поверхностей имеет огибающую (например, семейство параллельных
прямых не имеет ее). Существует простой общий метод нахождения огибающих любого семейства; для случая семейства кривых на плоскости он был дан еще Лейбницем.
Всякая кривая есть, очевидно, огибающая своих касательных. Точно так же всякая поверхность есть огибающая своих касательных плоскостей. (Кстати, это дает основание для нового способа задания кривой или поверхности путем задания семейства ее касательных прямых или касательных плоскостей. В ряде вопросов такое задание кривой или поверхности оказывается целесообразным.)
