Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
166
Гл. 9. Исследование функций
Рис. 9.18. Асимптота — ось Ох
Определение. Асимптотой графика функции у = f(x) называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (ж, f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.
Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.
Вертикальные асимптоты. График функции у = f(x) при х —> а имеет вертикальную асимптоту, если
lim f(x) = +оо или lim f(x) = —оо;
при этом точка х = а есть точка разрыва. Уравнение вертикальной асимптоты имеет вид
х = а
(рис. 9.19).
Рис. 9.19. Вертикальные асимптоты
9.6. Асимптоты графика функции
167
Вертикальные асимптоты х = а следует искать в точках разрыва функции или на концах ее области определения, если концы не равны ±оо.
Горизонтальные асимптоты. График функции у = f(x) при х —> +оо или х —> — оо имеет горизонтальную асимптоту, если существует и конечен хотя бы один из пределов:
lim fix) = Ьл или lim fix) = 6П.
Если конечен предел 6Л, то говорят, что существует левосторонняя горизонтальная асимптота у = Ьл.
Если конечен предел то говорят о существовании правосторонней асимптоты у = ЬП (рис. 9.20).
У = ЬЛ
левосторонняя правосторонняя
Рис. 9.20. Горизонтальные асимптоты
В случае, когда конечные пределы Ьл и 6П совпадают: Ьл = 6П) говорят, что график функции у = f(x) имеет двустороннюю горизонтальную асимптоту у = Ь. Примеры двусторонних горизонтальных асимптот приведены на рис. 9.21.
В том случае, если
lim fix) = оо,
график функции не имеет горизонтальных асимптот, но может иметь наклонные.
168
Гл. 9. Исследование функций
у = х2/(1 + х2) у = х/(1 + х2)
Рис. 9.21. Двусторонние горизонтальные асимптоты
Наклонные асимптоты. Наклонной асимптотой графика функции у = f(x) называется ее асимптота, задаваемая уравнением
у = к х + Ь.
Наклонная асимптота, так же, как и горизонтальная, может быть правосторонней, левосторонней и двусторонней.
Теорема. Пусть функция у = f(x) определена при достаточно больших х и существуют конечные пределы
ku = lim -, 6„ = lim (f(x)-kx).
ж->-+оо X ж->-+оо
Тогда прямая у = кПх + Ьп является правосторонней наклонной асимптотой.
? Если у = ки х + Ьи — наклонная асимптота, то справедливо равенство
Hm {f(x)-(knx + bu))=0 (9.8)
х—>-+оо
и, тем более,
Цт (М-кв-Ь)=0ш
х^+ос \ x X )
Поэтому
К= lim М.
ж—Ц-оо X
Теперь из равенства (9.8), учитывая, что к — конечное число, получаем:
Ьи = lim (f(x)-kx). Ш
9.6. Асимптоты графика функции
169
Аналогично можно показать, что параметры кл и Ьл в уравнении левосторонней наклонной асимптоты у = кл х + Ьл определяются по формулам:
кл= lim -, Ьл= lim (f(x)-kJIx).
х^-оо х х^-оо
На рис. 9.22 изображены наклонные асимптоты.
у = х2/(х - 1) у = х/(х - 1)
Рис. 9.22. Графики функций и их асимптоты Замечание. Если хотя бы один из пределов
ки = lim li^l l)u = lim (f(x\ — kx\
x^-oo X x^+oc
бесконечен, то правосторонней наклонной асимптоты график функции у = f(x) не имеет. Аналогично, если кл — оо или Ьл = оо, то левосторонней наклонной асимптоты не существует.
Если кл = ки = к. Ьл = Ьи = b и эти числа конечны, то график функции имеет двустороннюю асимптоту у = к х + Ь.
На рис. 9.22 изображена двусторонняя наклонная асимптота у = х + 1.
При отыскании асимптот следует отдельно рассматривать случаи х ^ а — + а также х —> +оо и —оо.
170
Гл. 9. Исследование функций
Горизонтальную асимптоту можно рассматривать как частный случай наклонной асимптоты при к = 0. Поэтому при отыскании асимптот рассматривают лишь два случая: 1) вертикальные асимптоты; 2) наклонные асимптоты.
Схема отыскания асимптот:
1) для отыскания вертикальных асимптот выписывают все точки разрыва функции и конечные числа на границе области определения функции. Если таких точек нет, то нет и вертикальных асимптот. Если такая точка х = а имеется, то вычисляют пределы:
lim f(x) и lim f(x).
х—>а—0 х—>-а+0
Если хотя бы один из этих пределов существует и бесконечен, то х = а — вертикальная асимптота. Если оба предела не существуют или конечны, то х = а не является асимптотой.
2) для отыскания правосторонней наклонной (горизонтальной) асимптоты вычисляют пределы:
ku= lim bu = lim (f(x)-kx).
х^+ос х ж->-+оо
Если оба предела существуют и конечны, то прямая у = кп х + Ьп является правосторонней наклонной асимптотой (правосторонней горизонтальной асимптотой, если к = 0). В противном случае правосторонних наклонных и горизонтальных асимптот не существует.
Левосторонние наклонные (горизонтальные) асимптоты находятся аналогично.
V Пример 1. Найти асимптоты кривых:
\ х
а) у = —V
б)у =
в) у = .- .
Решение.
а) 1) Найдем вертикальные асимптоты графика функции у =
х
V
X
- (если они существуют). Их следует искать среди точек
разрыва функции или на границе ее области определения. Так как функция определена на всей числовой оси за исключением
9.6. Асимптоты графика функции
171
