Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
После этого нужно изучить поведение функции на границах области определения, установить характер точек разрыва (если они имеются), найти асимптоты. Наконец, следует найти точки экстремума и перегиба.
Принята следующая
Схема исследования функции и построения ее графика:
1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функцию на периодичность.
3. Исследовать функцию на четность.
4. Найти точки пересечения графика с осями координат и определить интервалы знакопостоянства функции; найти точки разрыва.
5. Исследовать поведение функции на границах области определения, найти асимптоты.
6. Найти промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремума.
7. Исследовать направление выпуклости графика функции, найти точки перегиба.
8. Вычислить значения функции для некоторых значений ее аргумента.
9. Используя все полученные результаты, построить график функции.
V Пример 1. Исследовать функцию у = х3 — Зх и построить ее график.
Решение. Исследуем функцию согласно принятой схеме.
1. Область определения функции D(f) = (—оо, +оо).
2. Функция не является периодической.
9.7. Исследование функции
175
3. Функция нечетна: f(—x) = (—ж)3 — 3 (—х) = —(ж3 — 3 х) = = —f(x). Ее график симметричен относительно начала координат. График функции достаточно построить в области х ^ 0. Однако в этом примере для наглядности проведем исследование при всех х.
4. Найдем точки пересечения графика с осями координат и определим интервалы знакопостоянства функции. С осью Оу график пересекается в точке О(0, 0), так как /(0) = О3 — 3 • 0 = 0. Для того чтобы найти точки пересечения с осью Ох, приравняем функцию к нулю. Получим х3 — Зх = х (х2 — 3) = 0, откуда искомые точки х\ = — л/3 , х<х = 0, х\\ = л/3 .
Функция является элементарной, поэтому непрерывна в своей области определения. Областью определения является вся действительная ось. Отсюда следует, что функция у = х3 — Зх непрерывна при любом значении аргумента.
Таким образом, точки х\ = — л/3 , х<± = 0, х% = л/3 разбивают ось Ох на четыре интервала знакопостоянства функции. Выбрав из каждого интервала по одной точке, проверим знак значений функции в этих точках (а значит, и в соответствующем интервале) :
(-оо, -л/3), /(-3) = (-3)3 - 3 • (-3) = -27 + 9 = -18, -(-л/3 , 0), /(-1) = (-1)3 - 3 • (-1) = -1 + 3 = +2, + (О, л/3), /(1) = 13-3.1 = 1-3 = -2,
(л/3, +оо), /(3) = 33 - 3-3 = 27 - 9 = +18. +
5. Так как функция является непрерывной, то ее график не имеет вертикальных асимптот. Наклонных и горизонтальных
fix) х3 — 3 х
асимптот также нет, так как lim - = - = оо (см.
ж->-±оо X X
пример 2 на с. 173).
6. Найдем промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремума (см. также пример 1 на с. 141). В соответствии с необходимым условием экстремума находим первую производную заданной функции, приравниваем ее нулю и решаем полученное уравнение:
f'(x) = 3 х2 - 3 = 3 (х + 1) (х - 1) = 0.
Если х < — 1 и ж > 1, то f'(x) > 0; функция возрастает в интервалах (—оо, —1), (1, +оо). Если — 1 < х < 1, то f'(x) < 0; функция убывает в интервале (—1, 1).
176
Гл. 9. Исследование функций
Так как при переходе через точку х = — 1 производная меняет знак с плюса на минус, то в этой точке функция имеет строгий локальный максимум; при переходе через точку х = 1 производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, функция имеет в этой точке строгий локальный минимум. Вычислим значения функции в этих двух точках:
2/max = /(-1) = 2, ут[п = /(1) = -2.
Таким образом, точка А(—1, 2) — строгий локальный максимум функции, а точка 5(1, —2) — ее строгий локальный минимум.
7. Исследуем направление выпуклости графика функции и найдем точки перегиба (см. также пример на с. 163). Найдем вторую производную функции и приравниваем ее нулю:
у' = 3 х2 - 3, у" = 6 х у" = 0 при х = 0.
Точка х = 0 разбивает числовую ось на интервалы (—оо, 0) и (0, +оо). В первом интервале вторая производная отрицательна, а во втором — положительна. Следовательно, в первом интервале график функции является выпуклым вверх, а во втором — выпуклым вниз. При этом вторая производная при переходе через точку х = 0 меняет знак. Это означает, что значение х = 0 является абсциссой точки перегиба графика. Вычислим ординату этой точки: /(0) = 0. Таким образом, точка О(0, 0) — точка перегиба графика заданной функции.
8. Вычислим значения функции для некоторых значений ее аргумента. Функция нечетна, поэтому достаточно взять значения функции при х ^ 0 :
/(0) = 0, /(1) = -2, /(2) = 5.
9. Используя все полученные результаты, построим график функции. График изображен на рис. 9.23. А
13 1
Задача 1. Исследовать функцию ^"Уб^^То^- ^ж~^5
и построить ее график.
Ответ: График функции изображен на рис. 9.23, где утах =
7 29
= у(-2) = 2—, ут[п = у(5) = -8—, а точка перегиба имеет 15 oil
координаты I -, — 6-
V Пример 2. Провести исследование с помощью производной и построить график функции у = (х2 + 20) / (х — 4).
9.7. Исследование функции
177
у = х3
3 х
1 ч 3 о л 1 У= 15^ +10Я! 2х + 5
