Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
Согласно определению производной имеем:
у = 11 г г 1 -—.
Дж->о Ах
Следовательно, можно считать, что производная у'{х) прибли-
Ау . -ill
женно равна отношению д—. Положим Ах = 1. На практике
обычно х — очень большое число, так что 1 мала по сравнению с х. Откуда
ч Ау у(х + Ах) — у(х) , л. , ч у\х) ~ =--Ад = у(х + !) - у№-
Разность у(х + 1) — у(х) выражает на сколько изменились затраты (издержки) при изготовлении еще одного экземпляра
182 Гл. 10. Применение дифференциального исчисления..
продукции. Поэтому экономисты определяют предельные издержки yf(x) так же, как затраты на изготовление еще одного экземпляра продукции.
V Пример 1. Зависимость между издержками продукции у и объемом выпускаемой продукции х на предприятии выражается функцией у = 10х + 50. Определить предельные издержки при объеме продукции х = 100 единиц.
Решение. Предельные издержки выражаются производной у'{х). При х = 100 предельные издержки составят у'(100) = = 10. Это означает, что при данном уровне производства (количестве выпущенной продукции 100 единиц) на выпуск единицы дополнительной продукции необходимы дополнительные затраты в 10 денежных единиц. Действительно, затраты на выпуск сто первой единицы продукции можно подсчитать и по другому:
2/(101) - 2/(100) = 10 • 101 + 50 - 10 • 100 - 50 = 10.
Для нашей конкретной задачи (т. е. в случае, когда у является линейной функцией от переменной х) разность у(х + 1) — у(х) совпадает со значением производной у7 (100). В общем же случае (когда функция у(х) может быть нелинейной) при больших х разность у(х + 1) — у (х) совпадает с у'{х) лишь приближенно. А
V Пример 2. Зависимость издержек производства одного из предприятий от объема выпускаемой продукции х выражается формулой
у{х) =40 х -0,03 х3.
Определить средние и предельные издержки при объеме продукции х = 15 ден. ед.
Решение. Функция средних издержек на единицу продукции определяется по формуле у = у/х, или в нашем случае
у(х) = 40 - 0,03 ж2,
откуда
у(15) = 40 - 0,038225 • 152 = 33,25 ден. ед. Предельные издержки у1 определяются по формуле у'(х) = 40 - 0,09 ж2, откуда при х = 15 получаем у'(15) = 19,75 ден. ед.
10.1. Предельные величины в экономике
183
Иными словами, при средних издержках на производство единицы продукции в 33,25 ден. ед. дополнительные затраты на производство единицы продукции составят 19,75 ден. ед. и не превысят средних издержек. А
Как видим, предельная величина характеризует не состояние (как суммарная или средняя величины), а процесс, изменение экономического объекта. Таким образом, предельная величина выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса).
Помимо предельных издержек с помощью производной могут быть определены предельный доход, предельная стоимость, предельный спрос, предельная выручка, предельная производительность ресурса и другие предельные величины.
В экономической теории предельные {маржинальные) величины у'{х) принято обозначать через Му(х). Буква М — первая буква английского слова marginal — «маржинальный» (переводится на русский язык словом «предельный»).
Определение предельных величин с помощью понятия производной позволяет использовать математический аппарат для доказательства экономических законов. Рассмотрим некоторые применения дифференциального исчисления в экономической теории.
Пусть х — количество реализованного товара, R(x) — функция дохода, С(х) — функция издержек (затрат на производство товара). Вид этих функций зависит от способа производства, оптимизации инфраструктуры и т. п. Обозначим функцию прибыли за П(ж). Тогда
Щх) = R(x) - С(х).
Очевидно, оптимальным уровнем производства является тот, при котором прибыль максимальна, т. е. такое значение выпуска ж, при котором функция П(ж) имеет максимум. По теореме Ферма в этой точке
П'(х) = 0.
Но П'(ж) = R'(x) - С'(х). Поэтому R'(x) = С'(х), т.е. если уровень выпуска х является оптимальным для производителя, то MR(x) = МС(х), где MR(x) — предельный доход, а МС(х) — предельные издержки.
184 Гл. 10. Применение дифференциального исчисления..
Получили известное в микроэкономике утверждение:
Для того чтобы прибыль была максимальной, необходимо, чтобы предельный доход и предельные издержки были равны.
Использование в конце XIX в. предельных (маржинальных) величин полностью изменило способы анализа и предмет экономической теории. Экономисты для вывода экономических законов стали охотно прибегать к математическим доказательствам. Произошедшие в результате этого изменения были столь значительны, что их впоследствиии назвали маржиналистской революцией.
V Пример 3 (Максимизация прибыли). Пусть функция дохода от количества реализованного товара х выражается фор-
х3
мулой R(x) = — + 2000000 ж, а функция затрат на производство о
товара — формулой С(х) = 1500ж2. Определить оптимальный уровень производства и прибыль, которая при этом достигается.
Решение. Прибыль определяется формулой Щх) = R(x) - С(х),
откуда
х3
Щх) = — - 1500 х2 + 2000000 х.
о
Приравнивая производную прибыли
