Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
(lnA(t))' > г.
Если это неравенство задает интервал (ti, ?2), то актив А следует купить в момент t\ и продать в момент ?2- Именно за
188 Гл. 10. Применение дифференциального исчисления..
это время произойдет наибольшее приращение А по сравнению с другими активами.
Относительная скорость (темп) изменения функции у = = f(x) определяется логарифмической производной
(10.1)
V Пример 1. Производительность труда бригады рабочих может быть описана уравнением
2/ = -2,5 • t2 + 15 • t + 100,
где 0 < t < 8 — рабочее время в часах. Вычислить скорость и темп изменения производительности труда при t = 2 и t = 7.
Решение. Скорость изменения производительности труда выражается производной
y' = -5t + 15,
а темп ее изменения — логарифмической производной
гт, /1 ч/ у' -5 ? + 15
Tv = In у) = — = -к-.
у V У) у -2,5-?2 + 15-? + 100
При t = 2 у'(2) = 5, Ту = 1/24 « 0,04.
При t = 7 у'(7) = -20, Ту = -8/33 « -0,24.
Итак, в момент t = 2 ч после начала работы скорость изменения производительности труда составила 5 ед./ч, а в момент t = 7 ч — (—20) ед./ч; относительная скорость (темп) изменения производительности труда составила соответственно 0,04 ед./ч и (—0,24) ед./ч. Знаки плюс и минус указывают на то, что в начале смены (при t = 2) наблюдалось увеличение производительности труда, а в конце смены (при t = 7) — ее снижение. а
Т, = (In !,)' = ?.
10.3. Эластичность
Определение эластичности. Понятие эластичности было введено Альфредом Маршаллом в связи с анализом функции спроса. Впоследствии это понятие было распространено и на другие функции.
10.3. Эластичность
189
МАРШАЛЛ (Marshall) Альфред (1842-1924) — английский экономист, основатель кембриджской школы политэкономии и один из организаторов Королевского экономического общества. Его труд «Principles of economics» (принципы экономической науки) стал учебником, по которому учились студенты Англии и США. В середине XX в. укороченное название данного произведения — «economics» — стало обозначать учебники, в которых излагается неоклассическая экономическая теория.
Пусть дана функция у = f(x). Предположим, что приращение независимой переменной х есть Ах.
Определение. Эластичностью функции у = f(x) называется следующий предел
Ех(у) = Ш .
Дж->0 V у X )
(10.2)
Говорят также, что Ех(у) — это коэффициент эластичности у по х.
Из определения эластичности вытекает, что при достаточно малых Ах выполняется приближенное равенство
ЕХ(У)
которое можно записать в виде
Ау
Ay ^ Ах v ' х
ЕХ(У)
Ах
Вывод: эластичность Ех(у) — это коэффициент пропорциональности между относительными изменениями величин у и х. Если, например, х увеличится на один процент, то у увеличится (приближенно) на Ех(у) процентов.
V Пример 1. Правильное применение знаний о коэффициентах эластичности спроса на товары помогает правительству в оценке последствий введения новых налогов или акцизов.
Пусть х — акцизы на водку, у — спрос на этот товар. Предположим, что государство предполагает повысить акцизы на водку на 10%. Если известно, что эластичность спроса составляет Ех(у) = —0,2, то следует ожидать, что это вызовет снижение спроса на данный товар на 0,2 • 10 = 2 (%) и доходы государства по продаже водки повысятся на 8%. А
190 Гл. 10. Применение дифференциального исчисления..
V Пример 2. Изучение эластичности важно и для оценки изменения ситуации на рынке товаров и услуг в результате повышения доходов населения. Замечено, х) что для мяса, масла и яиц эластичность спроса относительно доходов населения положительна, а для муки — отрицательна. Это означает, что с ростом дохода спрос на мясо, масло и яйца увеличивается, а на муку — понижается. Обратно, понижение доходов населения приводит к понижению закупок мяса, яиц, масла и увеличению закупок муки. Связано это с тем, что снижение доходов влечет за собой и уменьшение возможности покупки дорогостоящих продуктов. Вместо этих продуктов, например мяса, население покупает более дешевый продукт, т. е. муку или хлеб. А
V Пример 3. Пусть заданы функции спроса у и предложения (количества товаров предлагаемого в единицу времени) z от цены х :
у = 10 — х. z = З.т — 6.
Найти:
а) цену равновесия при которой спрос и предложение уравновешиваются;
б) эластичность спроса и предложения для цены равновесия. Решение.
а) Цена равновесия находится из условия у(х) = z(x), или 10 — х = Зж — 6, откуда х = 4;
б) эластичность спроса Ех(у) и предложения Ex(z) находим по формуле (10.2). Имеем
г/ = 10 - ж;
Ау = у(х + Ах) - у(х) = 10 - (х + Ах) - (10 - х) = -Ах;
х
10-ж'
х
10 -х'
6 - (Зж - 6) = 3 Ах;
Ау Ах —Ах Ах у ' х 10 — х х
откуда
EJy) = lim (-—?—) хуу) Дж^о V Ю -х)
Аналогично имеем
z = Зж — 6; Az = z(x + Ах) — z(x) = З.т + 3 Ах
ЧСм. [21].
10.3. Эластичность
191
Az_
z
Ax
x
следовательно
Зж — 6 Ex(z) =
Ах
х
Зж 3 х — 6'
X
х-2
Таким образом, при х = 4 получаем
Ех{у) = -4/(10 - 4) = -2/3, Ex(z) = 4/(4 - 2) = 2.
Это означает, что при цене равновесия между спросом и предложением увеличение цены на 1% влечет уменьшение спроса на (2/3)% и возрастание предложения на 2%. А
