Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
? Пусть f"(x) < 0 при х G (х0 - е, х0) (е > 0) и f"(x) > 0 при х G (жо, хо + е)? тогда согласно теореме 1 график функции является выпуклым вверх в интервале (жо — ?-> жо) и выпуклым
9.5. Выпуклость функции. Точки перегиба
163
вниз в интервале (жо, xq + е). Следовательно, при переходе через точку М выпуклость вверх меняется на выпуклость вниз, т. е. М — точка перегиба. ¦
Чтобы найти все точки перегиба графика дифференцируемой функции у = f(x), надо испытать все те значения ж, в которых вторая производная f"(x) равна нулю, бесконечна или не существует (только в таких точках перегиб возможен).
Если при переходе через одно из этих значений вторая производная меняет знак, то линия имеет в этой точке перегиб. Если же не меняет, то перегиба нет.
V Пример. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графиков следующих функций:
а) у = х3 - 3 х; б) у = х + ж5/3; в) у =
х
l + xz Решение.
а) у' = Зх2 - 3, у" = 6 ж, у" = 0 при х = 0. Если у" < 0 (глаза опущены — —, личико грустит), то функция выпукла вверх. Поскольку у" = 6х < 0 при х < 0, на интервале (—оо, 0) функция выпукла вверх. Если у" = 6 х > 0, то х > 0. Значит, на интервале (0, +оо) функция выпукла вниз (глаза блестят + +, личико улыбается). Поскольку при переходе через точку х = 0 вторая производная меняет знак, точка О(0, 0) является точкой перегиба.
б) Найдем производные:
У 3 ' у 9^
Вторая производная нигде не равна нулю и теряет смысл (обращается в бесконечность) в точке х = 0. При х < 0 имеем у" < 0 и кривая выпукла вверх, при х > 0 имеем у" > 0 и кривая выпукла вниз. Вторая производная меняет знак при переходе через точку х = 0. Поэтому точка О(0, 0) — точка перегиба.
в) Найдем производные:
/ 1 — ж2 // 3 — ж2
У = /, . 242 » У = ~2Х
(1 + ж2)2' (1 + *2)3'
Вторая производная у" равна нулю, если х = — л/3, 0, л/3. На интервалах (-оо, -V3), (0,V3)
вторая производная отрицательна — следовательно, функция на этих интервалах выпукла
б*
164
Гл. 9. Исследование функций
у = ХЛ - 3 X у = х + ХЬ/3 у = х/(1 + Х2)
Рис. 9.16. Точки перегиба некоторых функций
вверх. На интервалах ( — д/3 , 0), (л/3 , +оо) вторая производная положительна — следовательно, функция на этих интервалах выпукла вниз. Во всех трех точках х = — л/3, 0, л/3 вторая производная меняет знак. Откуда заключаем, что все три точки являются точками перегиба.
Графики всех трех функций изображены на рис. 9.16. А
Задача. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости графика функции у = —ж1/3.
Ответ: Точка перегиба одна — О(0, 0). В интервале (—оо, 0) кривая выпукла вверх, а в интервале (0, +оо) — вниз.
Заметим, что для непрерывных функций, которые являются дифференцируемыми не во всех точках, также используется понятие выпуклости кривой. Оно возникает, например, в математическом программировании. Здесь не может быть использовано наше определение, использующее понятие касательной (касательной в этом случае может и не быть). Поэтому пользуются другим определением, основанном на понятии хорды. График функции (или сама функция) называется выпуклым (выпуклой) вниз, если каждая дуга кривой лежит не выше своей хорды. График функции (или сама функция) называется выпуклым (выпуклой) вверх, если каждая дуга кривой лежит не ниже своей хорды.
В случае дифференцируемых функций определения, основанные на понятиях касательной и хорды, совпадают.
9.6. Асимптоты графика функции
В предыдущих параграфах мы изучали характерные точки. Теперь рассмотрим характерные линии, именуемыми асимптотами.
9.6. Асимптоты графика функции
165
а, горизонтальная б, вертикальная в, наклонная
Рис. 9.17. Асимптоты
Вспомним как выглядит знакомый нам график функции у = = —. Нетрудно заметить, что при удалении точки этого графика
x
вправо от начала координат расстояние от нее до прямой у = О (оси Ох) стремится к нулю (рис. 9.17, а). В этом случае говорят, что кривая у = 1/х имеет горизонтальную асимптоту у = 0.
При удалении точки графика вверх от начала координат расстояние от нее до прямой х = 0 (оси Оу) также стремится к нулю (рис. 9.17, б). Говорят, что прямая х = 0 является вертикальной асимптотой.
График функции может иметь также и наклонную асимптоту. Таков, например, график функции у = х + 1/х. При удалении точки графика от начала координат расстояние до прямой у = х неуклонно сокращается (рис. 9.17, в).
Термин асимптота введен древнегреческим ученым Аполлонием Пергским при изучении гиперболы и происходит от греческого слова «асимтотос», означающего «несовпадающий». Пусть это слово не вводит вас в заблуждение. Асимптоты гиперболы действительно не пересекают график функции (т. е. являются в некотором смысле «несовпадающими»). Однако, согласно современным представлениям об асимптоте, кривая может пересекать свою асимптоту (например, график затухающих колебаний, изображенный на рис. 9.18).
АПОЛЛОНИЙ Пергский (около 260-170 до н.э.) — древнегреческий математик. Его труд «Конические сечения» (в 8 книгах) оказал огромное влияние на развитие астрономии, механики и оптики. Аполлоний ввел понятия и термины: «гипербола», «парабола», «эллипс», «фокус», «асимптота».
